Доказывается, я так думаю, через равенство двух треугольников. Каждый треугольник образован основанием, наклонной стороной (бедром трапеции) и диагональю. Поскольку углы при основании равны - на то трапеция и равнобедренная, бёдра тоже тоже, а основание у треугольников - общая сторона, то треугольники равны (так как равны две стороны и угол между ними) . А если треугольники равны, то равны и их соответствующие третьи стороны - т. е. диагонали. Вот теперь посторой трапецию АВСД и запиши всё в мат. выражениях.
Угол ВМО - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью треугольника с данной плоскостью α. ВМ и МN перпендикулярны АС, значит плоскость ANC (плоскость α) перпендикулярна плоскости BMN. Углы между наклонными (две другие стороны треугольника) и плоскостью - это углы между этими наклонными и их проекциями на эту плоскость. Перпендикуляр ВО к плоскости α лежит в плоскости BMN (О на прямой MN). Надо найти синусы углов ВСО и ВАО. Прямоугольные треугольники ВАО и ВСО равны по гипотенузе и катету. Углы ВСО и ВАО равны. Из прямоугольного треугольника ВМО : , sinВСО = sin ВАО = ответ
, 
Для знаходження площі трикутника АВС можна використати формулу площі Герона.
Відстань між двома точками (x₁, y₁, z₁) та (x₂, y₂, z₂) обчислюється за формулою:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
Тепер обчислимо довжини сторін трикутника АВС:
AB = √((-1 - (-4))² + (5 - (-1))² + (-1 - 4)²)
= √(3² + 6² + (-5)²)
= √(9 + 36 + 25)
= √70
BC = √((3 - (-1))² + (3 - 5)² + (-1 - (-1))²)
= √(4² + (-2)² + 0²)
= √(16 + 4 + 0)
= √20
AC = √((3 - (-4))² + (3 - (-1))² + (-1 - 4)²)
= √(7² + 4² + (-5)²)
= √(49 + 16 + 25)
= √90
Тепер, коли ми маємо довжини сторін AB, BC та AC, можемо обчислити площу трикутника АВС за формулою площі Герона:
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))
де p - півпериметр трикутника, обчислюється як:
p = (AB + BC + AC) / 2
Застосуємо ці формули до заданого трикутника:
AB = √70
BC = √20
AC = √90
p = (AB + BC + AC) / 2
= (√70 + √20 + √90) / 2
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))
З використанням цих значень можна обчислити площу трикутника АВС.