Вариант решения.
Пусть в пирамиде ОАВС сторона АО=3, СО=4, ВО=12.
Для начала найдем длины сторон ∆ АВС.
По т. Пифагора АВ²=AO²+BO²=9+144=153
По т.Пифагора ВС²=ОС²+ОВ²=16+144=160
АС=√(АО²+ОС²)=√(9+16)=5
Обозначим середину АС - Н; ОВ =К; АО - М,; ВС - Р; ОС - Т; АВ -Е.
Расстояние между серединами АС и ОВ - медиана НК в ∆ ОНВ.
ОН- медиана прямоугольного АОС и равна АС:2=2,5
Формула медианы треугольника
М=0,5•√(2a²+2b²-c²), где а. b и с - стороны, причем с - сторона, к которой проведена медиана.
Тогдв М²=0,25•((2a²+2b²-c²) ⇒
ВН²=0,25•(2•AB²+2•BC²-AC²)=0,25•(2•160+2•153-25)=0,25•601
НК=0,5•√(2•OH*+2*BH*-OB*)=0,5√(12,5+0,5•601-144)=0,5•13=6,5
Аналогично вычисляются сначала медианы АР и ОР из ∆ АВС и ∆ СОВ, затем МР=6,5 из ∆ АРО и медианы АТ и ВТ из ∆ АОС и ∆АОВ, затем ТЕ=6,5 из ∆ АТВ.
Сумма найденных расстояний 3•6,5=19,5
x^2+x^2=4^2
2x^2=16
x^2=8
Площадь треугольника S (АВС) =1/2 x^2= 8/2= 4
Нужно найти расстояние от точки M до прямой AB.На прямой АВ эту точку обозначим через К. Значит, МК -?
Т. к. треугольник АВС -равнобедреный, то АК=ВК =2 см. Проекция СМ на треугольник АВС будет СК. Т. к. МК перпендикуляр АВ, то и СК перпендикуляр АВ. Площадь треугольника S (АВС) =1/2 *АВ*СК
2S (АВС) =АВ*СК
СК=2S (АВС) /АВ= 2*4/4= 2
Из прямоугольного треугольника МСК (угол С= 90 градус) по теореме Пифагора находим искомое расстояние:
МК^2=CM^2+CK^2= 2^2+2^2= 4+4=8
МК= под корнем 8 =2 под корнем 2.