Центр окружности лежит на пересечени высот, которые относятся 2/1 считая от вершины, мы обозначим их как х и 2х, то что 2х это радиус. В раврностороннем треугольнике высота, это медиана и бессиктриса, так что она делит основание на два, соответстаенно пол основания это 6. Теперь по теореме пифагора высота= корень из12 в квадрате- 6 в квадрате, корень из 144- 36, равно корень из 108, но это вся высота а нам надо две части, поэтому:3х=корень из 108, х=корень из 108/3, 2х= 2 корня из 108\3, теперь диаметр в 2 р больше радиуса так что он =4 корня из 108\3.
ВС - проекция КС на плоскость треугольника АВС, значит
КС⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Расстояние от точки К до прямой АС - длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.
Значит, КС = 20 см.
В ΔАВС ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°.
В Δ ВСН напротив угла в 30° лежит катет СН, равный половине гипотенузы, значит
ВС = 2СН = 2 · 8 = 16 см
ΔВСК: ∠КВС = 90°, по теореме Пифагора
ВК = √(КС² - ВС²)
ВК = √(20² - 16²) = √((20 - 16)(20 + 16)) = √(4 · 36) = 2 · 6 = 12 см