Из точки а проведены две касательные к окружности с центром в точке о. найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60 градусов, а расстояние от точки а до точки о равно 6.
Прямая соединяющая т.О и т. А является биссектрисой угла А значит мы получаем два прямоугольного треугольника с гипотенузой=6, и стороной против угла в 30 градусов равной радиусу, откуда по теореме о катете, лежащем против угла в 30 градусов r= 1\2*6= 3
Продлим боковые стороны трапеции и получим треугольник, т.к трапеция равнобед. то углы при основании треугольника равны, из чего следует что он равнобедренный тоже. треугольники, образованные одной из боковых сторон, нижним основанием и одной из диагоналей соответственно равны. Значит в треугольнике, состоящем из нижнего основания, третья вершина кот. точка пересечения диагоналей, равнобедренный, т.е его вершина равноудалена от боковых сторон большого треугольника, а значит, эта прямая является медианой, биссектрисой и высотой ( вроде так)
AOD и BOC - равнобедренные прямоугольные треугольники с известными гипотенузами. Отсюда легко видеть, что AO = OD = 20√2; BO = OC = 15√2; Треугольник COD прямоугольный с известными катетами, откуда легко найти и CD = 25√2; Это просто египетский треугольник 3,4,5, коэффициент подобия 5√2. (ВНИМАНИЕ! - читать внимательно). Поскольку равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность, OM является медианой треугольника AOB; Строится описанная окружность. ∠MOA = ∠KOC; ∠COK = ∠DOC; (стороны углов перпендикулярны) ∠BAO = ∠ODC; (вписанные углы, оба опираются на дугу CB) => ΔMAO - равнобедренный; углы при стороне AO равны, => AM = MO; На гипотенузе прямоугольного ΔABO есть только одна точка, равноудаленная от вершины прямого угла и вершины острого - её середина => OM - медиана треугольника AOB; Поэтому надо найти сумму длин высоты и медианы к гипотенузе в египетском треугольнике с коэффициентом подобия 5√2; высота треугольника 3,4,5 равна 3*4/5 = 2,4; медиана 2,5; в сумме 4,9 и остается умножить на 5√2; ответ 49√2/2;
r= 1\2*6= 3