Втреугольнике длина стороны ab равна 2, угол a равен 60 градусов, угол b - 70 градусов. на стороне aс взята точка d так, что ad=1. найдите градусную меру угла dbc
Вариант решения. АВ=2 , АD=1 по условию. Сделаем рисунок. Проведем из D отрезок к середине АВ, точку пересечения обозначим Е. АЕ=ВЕ=1 Т.к. по условию угол А=60°, треугольник АЕD - равносторонний. Треугольник ВЕD- равнобедренный, в нем ВЕ=ЕD. Как смежный с углом АЕD, равным 60°, угол ВЕD=120°. Углы DВЕ и ЕDВ равнобедренного треугольника - по 30°. Угол АВС по условию равен 70 градусов. Угол DВС=70°-30°=40°
Теория - основа для решения задач. Раз изучаете вписанные и описанные окружности, наверняка уже знаете, что центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис. Знаете также и то, что центр описанной окружности - в точке пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к каждой из его сторон. В равностороннем треугольнике все биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке, и эта точка - центр и вписанной, и описанной окружности, так как высота равностороннего треугольника и есть срединный перпендикуляр к стороне. Почему - доказывать не стоит, наверняка знаете. О том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1- считая от вершины, Вы уже должны знать. Вот на знании всех этих свойств и построено решение задачи. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Расстояние от нее до стороны - радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике это 1/3 медианы - и это и 1/3 биссектрисы и 1/3 высоты ( три в одном флаконе). Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности - расстояние от точки пересечения высот до вершин треугольника, и это расстояние в два раза больше расстояния от точки пересечения биссектрис (высот) до стороны треугольника. Итак, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него. R=2r= 5*2=10 cм См. рисунок в качестве иллюстрации.
и еще раз по т.косинусов: 1^2 = 2^2 + 3 - 2*2*V3*cos(ABD)
cos(ABD) = 6 / (4V3) = V3/2
угол ABD = 30 градусов
значит угол DBC = ABC - ABD = 70-30 = 40 градусов
получилось, что BD --- это высота...