заметим, что угол OCD = BCO = 30 гр => угол BCD = 60 гр => угол CDA = 120 гр, а угол CDO=ODA=60 гр
рассмотрим треугольник COD в нем углы OCD и ODC равны 30 и 60 гр соответственно => угол COD = 180 - 30 - 60 = 90 гр => диагонали перпендикулярны друг другу (так как при пересекающихся прямых противоположные углы равны, а смежные дают сумму в 180 гр)
рассмотрим треугольники BCO и BOA
применим теорему пифагора: BO^2+OC^2=BC^2; BO^2+OA^2=BA^2
поскольку в пар-ме диагонали точкой пересечения (в данном случае - O) делятся пополам, то OA=OC
вернемся к двум верхни уравнениям, видно, что левые части у них равны => BA^2=BC^2 => BA=BC => наш четырехугольник является ромбом
поскольку периметр ABCD=40, то каждая из сторон равна 10
ищем диагональ BD:
рассмотрим треугольник BCO:
угол BCO равен 30 гр => sin BCO=sin 30=1/2=BO/BC => BO=5
BD=BO+OD (BO=OD) => BD=10
AD = x; BD = y;
x^2 + y^2 = 64
x^2 + (sqrt(353) - y)^2 = 289
x^2 + y^2 = 64
x^2 + 353 - 2y * sqrt(353) + y^{2} = 289
Вычитаем первое уравнение из второго:
2y * sqrt(353) = 64
4y^2 * 353 = 4096
y^2 = 1024/353
x^2 = 64 - y^2 = 64 - 1024/353 = 21568/353
x = корень из 21568/353
Проверяйте вычисления!