Даны координаты вершин треугольника ABC
А(-4;10), В(8;1) , С(12;23) . Найти: 1) уравнение высоты CD и ее длину ;
2) уравнение медианы AE и координаты точки К , точки пересечения этой медианы с высотой CD.
Объяснение:
1) Прямые содержащие отрезки АВ и СD будут перпендикулярны , те 
Уравнение прямой АВ : 
или 12(у-10)=-9(х+4) ,
4(у-10)=-3(х+4) , у-10= -0,75(х+4) , у= -0,75х+7.
Для уравнение прямой СD , у=4/3*х+b , найдем в используя координаты С(12;23).
⇒ b=7. Тогда уравнение высоты CD будет у=4/3*х+7.
CD=√( (12-х₂)²+(23-у₂)² ), где C(12;23), D(х₂;у₂ )
Ищем координаты D
⇒ 
⇒ x=0,y=7 . D(0;7)
СD=√( (12-0)²+(23-7)² )=√(144+256)=20.
2)Если АЕ-медиана , то Е середина ВС .
Е( (8+12):2 ; (1+23):2 ) или Е(10;12)
Уравнение прямой АЕ : 
или 14(у-10)=2(х+4) ,
у-10=1/7*(х+4) , у-10= 1/7*х+4/7 , у=1/7*х+74/7.
Ищем координаты точки К
, 
|*21 , 3x+74*3=28x+21*7 ,
25x=75 , x=3 . Тогда у= 1/7*(3+74)==11 ⇒ К(3;11).
1. ΔABC-правильный . R и r-радиусы вписанной и описанной окружностей. Выразите R через r.
a₃ = 2r√3 и a₃ = R√3 ⇒ 2r√3= R√3 , R=2r.
4. Найдите площадь равностороннего треугольника, вокруг которого описано окружность радиуса 3 см.
a₃ = R√3 ⇒ a₃ = 3√3 см
S(равностороннего треуг.)= 
⇒ S(равн.треуг.)= 
= 
(cм²)
5. Определите количество сторон правильного многоугольника углы которого равны 160 градусов.
Многоугольник правильный , поэтому сумма всех внутренних углов 160*n .
160*n=180(n-2) , 160n=180n-360 , 20n=360 , n=18. Количество сторон 18.
((n-2)/n*180- формула для нахождения углов в правильном многоугольнике )
6. В правильный треугольник ,сторона которого 4√3 cм, вписана окружность. Вокруг окружности описан квадрат. Найдите сторону квадрата.
a₃ = 2r√3 , 4√3= 2r√3 ⇒ r=2 см.
Квадрат описан около окружности, значит сторона квадрата равна
a₄ =2r или a₄ =4см.
CD