Вспомним: Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис. В правильном треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами. Значит, высоты здесь еще и срединные перпендикуляры, точка пересечения которых - центр описанной окружности. В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Так как биссектрисы=медианы, и пересекаются они в одной точке, эта точка по свойству медиан делит медиану ( высоту) в отношении 2:1, считая от вершины угла. Отрезок, равный 1/3 высоты из центра к стороне - радиус вписанной окружности. Вся высота равностороннего треугольника, следовательно, в 3 раза больше радиуса вписанной в него окружности.
И вот собственно решение: h=4*3=12 см Из формулы высоты равностороннего треугольника h=a*sin(60°) а=h:sin(60°) а=12:{(√3):2}=24:√3=(24√3):3=8√3 см ответ: сторона равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности 4 cм равна 8√3 см
Если окружность вписанная, то подходит формула r=(a*√3)/6 Теперь просто подставляем и решаем: 4*6=(a*√3) 24=a*√3 a=24/√3 Возведём обе части в квадрат a*a=576/3 a*a=192 a=8√3 ответ: a=8√3
