Question

Вправильной четырехугольной пирамиде мавсд сторона основания равна 4√3 см , а боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. найдите объем пирамиды и площадь боковой поверхности. заранее большое

Answer 1

Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, в основании квадрат со стороной 4√3 см. Угол МАС=60 градусов.
Рассмотрим треугольник ADC-прямоугольный.
$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$
$AC^{2} = (4\sqrt{3} )^{2} + (4\sqrt{3} )^{2}$$AC = 4 \sqrt{6}$
Проведем высоту пирамиды МО.
$AO = \frac{AC}{2}$
$AO=2 \sqrt{6}$
Угол AMO=30 градусов (т.к. 180-90-60=30). Катет, лежащий напротив угла в 30 гр., равен половине гипотенузы.
АМ = 2АО
$AM=4 \sqrt{6}$
Рассмотрим треугольник АОМ-прямоугольный.
$MO= \sqrt{ AM^{2}- AO^{2} }$
$MO=6 \sqrt{2}$
Площадь основания: $S= AB^{2} =48$
Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} * S * h$
$V= \frac{1}{3} *48*6 \sqrt{2} =96 \sqrt{2}$

Проведем из т.О перпендикуляр ОК к стороне AD.
Рассмотрим треугольник КОМ-прямоугольный.
$OK= \frac{1}{2} CD$
$OK=2 \sqrt{3}$. $MO=6 \sqrt{2}$
$MK = \sqrt{ (2 \sqrt{3}) ^{2}+ (6 \sqrt{2}) ^{2} } = \sqrt{84}$
$S (AMD) = \frac{1}{2} * MK*AD$
$S= \frac{1}{2} *4 \sqrt{3} * \sqrt{84} =12 \sqrt{7}$
Площадь боковой поверхности:$S = 12 \sqrt{7} *4 = 48 \sqrt{7}$