Около трапеции abcd с основанием ad = 24 описана окружность. касательная к окружности в точке a пересекает прямые bd и cd в точках m и n соответственно.найдите nd , если ab перпендикулярно md и md = 30 .
главное правильно начертить ( окружность , равнобокая трапеция АВСД, АД - диаметр, ВС в 3,5 раза меньше АД, касательная МА перпендикулярная АД , продлеваем ее до пересечения с СД в точке Н, получается два прямоугольных треугольника АНД и внутри него АМД, проводим МД через В). Дано АВ перпендикулярно АД, трапеция АВСД вписана в окружность, АД=24, МД=30, только равнобокую трапецию можно вписать в окружность, АВ=СД, уголА=уголД, уголАВД=90=1/2дугиАД, дугаАД=2*уголАВД=2*90=180, значит АД-диаметр, О-центр окружности, МА касательная, МД-секущая, АМ в квадрате=МВ*МД=30МВ, треугольник АМВ, АВ в квадрате=АМ в квадрате-МВ в квадрате=30МВ-МВ в квадрате, треугольник АВД, ВД=МД-МВ=30-МВ, АВ в квадрате=АД в квадрате-ВД в квадрате=576-900+60МВ-МВ в квадрате, 30МВ-МВ в квадрате=576-900+60МВ-МВ в квадрате, 30МВ=324, МВ=10,8, ВД=30-10,8=19,2, АМ в квадрате=30*10,8=324, АМ=18, АМ в квадрате+АД в квадрате=324+576=900= МД в квадрате,сумма квадратов двух катетов=квадрату гипотенузы, уголМАД=90, (можно проще, но это для того чтобы убедиться что касательная перпендикулярна диаметру)ВД/АД=sinA=19,2/24=0,8, cosA=корень(1-sinA в квадрате)=корень(1-0,64)=0,6=cosД, треугольник АНД прямоугольный, НД=АД/cosД=24/0,6=40
Пусть градусная мера одной части будет х. Тогда дуга АВ содержит 3х, дуга ВС - 4х и АС-5х. Окружность содержит 360°, ⇒ 3х+4х+5х=360° ⇒ х=30° 1) Дуга АВ равна: 30°*3=90° На нее опирается вписанный угол АСВ⇒ По свойству градусной величины вписанного угла он равен половине этой дуги: 90°:2=45° 2) Дуга ВС равна 30°*4=120° На эту дугу опирается вписанный угол САВ; он равен её половине: 120°:2=60° 3)Дуга АС равна 30°*5=150° На эту дугу опирается угол АВС, и он равен её половине: 150°:2=75° Углы треугольника АВС равны половинам градусных мер дуг, на которые они опираются: ∠С=45°, ∠ А= 60°, ∠ В=75°
В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу. Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0. Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0. Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0. у + 4 + 7х - 35 = 0, АС: 7х + у - 31 = 0. Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом: у = -7х + 31.
В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х". Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали. Используем формулу тангенса суммы (разности) углов: . Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:
Теперь переходим к уравнениям сторон. У параллельных прямых коэффициент к одинаков. Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД. Алгоритм решения : 1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД. 2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата. 3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.
1) Уравнение АС найдено. 2) ВД: х - 7у - 8 = 0 -7х + 49у + 56 = 0 АС: 7х + у - 31 = 0 7х + у - 31 = 0 -------------------------- 50у + 25 = 0 у = -25 / 50 = -1/2. х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5. Получили координаты точки К(4,5; -0,5).
.
