Question

Основанием прямой трапеции является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол - альфа. угол между диагональю большей боковой грани и плоскостью равен гамма. найдите площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Обозначим призму буквами ABCA1B1C1, где ABC - нижнее основание, A1B1C1 - верхнее основание. Рассмотрим прямоугольный треугольнки ABC. Пусть угол ABC=90 градусов, угол $BCA=\alpha$ Сторона AC=c по условию задачи. Находим стороны AB и BC.

$AB=AC*sin\alpha=c*sin\alpha$

$BC=AC*cos\alpha=c*cos\alpha$

Так как AC - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, то большая боковая грань призмы - это AA1C1C. По условию угол $C1AC=\gamma$

Рассмотрим треугольник C1AC. Он прямоугольный, так как призма - прямая. Угол C1CA=90 градусов. Находим сторону C1C:

$C1C=AC*tg\gamma=c*tg\gamma$

Так как призма прямая, CC1=AA1=BB1

Теперь, когда мы знаем все стороны призмы, можно вычислить площадь поверхности. Площадь поверхности равна сумме площадей сторон призмы.

$S=S_A_B_C+S_A_A_1_B_1_B+S_B_B_1_C_1_C+S_A_A_1_C_1_C+S_A_1_B_1_C_1$

$S_A_B_C=S_A_1_B_1_C_1=\frac{1}{2}*AB*BC=\frac{1}{2}*c*sin\alpha*c*cos\alpha=$

$=\frac{c^2}{4}*sin2\alpha$

$S_A_A_1_B_1_B=AA1*AB=c*tg\gamma*c*sin\alpha=c^2*sin\alpha*tg\gamma$

$S_B_B_1_C_1_C=BB1*BC=c*tg\gamma*c*cos\alpha=c^2*cos\alpha*tg\gamma$

$S_A_A_1_C_1_C=AA1*AC=c*tg\gamma*c=c^2*tg\gamma$$S_A_A_1_C_1_C=AA1*AC=c*tg\gamma*c=c^2*tg\gamma$

Площадь поверхности призмы равна:

$S=2*\frac{c^2}{4}sin2\alpha+c^2sin\alpha tg\gamma+c^2cos\alpha tg\gamma+c^2tg\gamma=$

$=c^2*(\frac{1}{2}sin2\alpha+sin\alpha tg\gamma+cos\alpha tg\gamma+tg\gamma)$