а) Меньшая высота параллелограмма находится из равнобедренного прямоугольного треугольника АВН (острые углы = 45°). По Пифагору 2*ВН²=АВ². Тогда 2*ВН²=а²*2, отсюда ВН=а. Это и высота параллелепипеда.
б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания - это двугранный угол, измеряемый градусной мерой линейного угла D1KD, образованный перпендикулярами D1K и DK к ребру АВ. Cинус этого угла равен отношению DD1/KD1. В прямоугольном треугольнике АКD:
<КАD =<KDA = 45°. Значит АК=КD= а√2.
Тогда КD1=√(КD²+DD1²)=√(2а²+а²)=а√3.
Sinα = a/а√3 = √3/3.
ответ: искомый угол равен arcsin(√3/3).
в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sб=2*(а√3+2а)*а =а²(2+√2).
г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей баковой поверхности и удвоенной площади основания. То есть
Sполн=а²(2+√2)+2*AD*BH=а²(2+√2)+4а² = а²(6+√2).
АН = 2√5х
АС = СВ = 5х
по условию АВ = 12
по т. косинусов верно равенство:
СВ² = АС² + АВ² - 2АС* АВ * cosA
25х² = 25х² +12² - 2*5х * 12 * 2√5/5
25х² = 25х² + 144 - 48√5*х
144 - 48√5*х = 0
144 = 48√5*х
3 = х√5
х = 3/(√5)
АН = 2√5х = 6
АС = СВ = 5х = 3√5
по т . Пифагора :
СН = √(АС² - АН²) = √(45 - 36) = √9 = 3