∠АОВ и ∠COD вертикальные,
∠ВОС и ∠AOD вертикальные.
Проведем:
ОЕ - биссектрису ∠АОВ,
OF - биссектрису ∠СOD,
OK - биссектрису ∠BOC,
OM - биссектрису ∠AOD.
Сначала докажем, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
∠ВОА и ∠ВОС смежные, значит их сумма равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
Биссектрисы разбили эти углы на пары равных углов:
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, значит
2 ·∠2 + 2 ·∠3 = 180°
2(∠2 + ∠3) = 180°
∠2 + ∠3 = 90°, значит
ОЕ⊥ОК.
∠СОВ и ∠COD смежные, значит и их биссектрисы пересекаются под прямым углом:
OF⊥OK.
Углы ЕОК и FOK имеют общую сторону ОК и составляют в сумме 180°, значит они смежные, следовательно стороны ОЕ и OF являются дополнительными лучами, т.е. лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Сумма боковых сторон равнобедренного треугольника равна его периметру без основания:
16-6=10.
Каждая сторона - 10:2=5.
Опустив высоту из вершины на основание, получим два прямоугольных треугольника с катетами, равными половине основания и высоте, и гипотенузами - боковым сторонам треугольника.
Это - так называемые египетские треугольники.
В египетском треугольнике отношение катетов и гипотенузы
3:4:5
Один из катетов 3,
гипотенуза 5,
второй катет (здесь это высота)=4.
Площадь треугольника
4*6:2=12 см²
Примечание:
Существует множество отношений сторон (так называемые тройки Пифагора), сумма квадратов катетов которых дает квадрат целого числа. Например, 5:12:13
О - середина АС ⇒ ОС/АС = 1/2
ВС = АЕ (АВСЕ - прямоугольник) АЕ = ЕД (по условию)⇒ ВС/АД = 1/2
ΔАСД - равнобедренный (СЕ - высота и медиана)⇒ АС = СД
ВО = АС/2 так как ВО половина диагонали ВЕ прямоугольника АВСЕ ⇒
⇒ВО/СД = 1/2 ⇒ ΔВОС подобен ΔАСД,
а значит и BO/BC = CD/AD
б) ΔВОС подобен ΔАСД (доказано в пункте а)
коэффициент подобия этих треугольников к = ВО/СД = 1/2
отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия
Sboc/Sacd = k² = 1/4
Saobcd = Sboc + Sacd = S
из отношения Sboc/Sacd =1/4 ясно, что площадь ΔАСД составляет 4/5 площади АОВСД, значит Sacd = 4S/5