Хорошие ! в правильной шестиугольной пирамиде угол между боковой гранью и основанием равен 45 градусов, а объем пирамиды равен 162. найдите сторону основания этой пирамиды. !
ПИрамида НАВСДЕК, Н-вершина, О-центр пирамиды, КО-высота пирамиды, правильная шестиугольная пирамида, разбивается на 6 правильных треугольников, рассматриваем треугольник АВО, проводим высоту в треугольнике АВО высоту ОТ на АВ, проводим апофему НТ, уголНТО=45, треугольник НТО прямоугольный, равнобедренный, уголТНО=90-45=45, ОТ=НО, площадь АВО=АВ в квадрате*корень3/4, высота ОТ=АВ*корень3/2, площадь АВСДЕК=6*площадь АВО=6*АВ в квадрате*корень3/4, объем=1/3 площадь основания*НО, 162=1/3*(6*АВ в квадрате*корень3/4)*(АВ*корень3/2), 162=3*АВ в степени3/4, АВ в степени3=216, АВ=6
Хорошая задача, хотя и очень простая. Каждый отрезок, который соединяет M с её образами M_1 ... проходит через середину стороны четырехугольника и делится ей пополам. Если соединить все середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм, стороны которого равны половине диагоналей четырехугольника (и параллельны им). Легко видеть, что, к примеру, отрезок T_1T_2 - средняя линия треугольника MM_1M_2. И точно также - остальные. Поэтому многоугольник M_1M_2M_3M_4 - параллелограмм, стороны которого в два раза больше сторон параллелограмма T_1T_2T_3T_4. То есть равны (и параллельны) диагоналям исходного четырехугольника. Поскольку этот вывод не зависит от положения точки M, все доказано. Конечно, само положение этого параллелограмма зависит от положения точки M.
Ну вот если продлить отрезки, соединяющие вершины с серединами сторон, а из вершин провести прямые параллельно этим отрезкам, то при пересечении они образуют 1) попарно равные треугольники с треугольниками, образовались которые внутри квадрата 2) четыре квадрата, равных квадрату, образованному внутри (площадь которого надо найти). Это проще всего понять, если заметить, что вся эта конструкция переходит в себя при повороте на 90° вокруг центре исходного квадрата - поскольку "в себя" переходят и вершины, и середины сторон. Кстати, это доказывает и то, что фигура, площадь которой надо найти - тоже квадрат. В условии это сказано, но не ясно, откуда это следует. Поскольку все таких квадратов 5, и все они одинаковые, и площадь их (из за пункта 1) равна площади исходного квадрата, все доказано.
