А) BADC - пирамида 1) Рассмотрим треугольник BAC. В нём M-середина BA и N - середина BC=> MN- средняя линия треугольника BAC(по свойству средней линии) MN || AC, MN=1/2AC Аналогично, NP||CD и MP||AD => (MNP)||(ADC)(т.к. плоскости параллельны, если две пересек. в них прямых взаимно ||) ч.т.д б) Т.к. MN, NP, MP - средние линий соответственных ▲, то MN=1/2AC, NP=1/2CD, MP=1/2AD => ▲MNP подобен ▲ADC А отношение площадей подобных ▲ равно квадрату коэффициенту подобия. S1:S2=k^2 S2=S1:k^2 S2=48:2^2=12см^2 ответ:12 см^2
Пусть M - середина АС. Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС. SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC. ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае - ∠SMH)
SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара. ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания. Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒ ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.
ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3 НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: НМ = а√3/6 а√3/6 = R√3 a = 6R
ΔSHM: HM / SM = cos 60° SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2) = 2R√3
Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус. ∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM), ∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30° ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO cos 30° = r / R r = R√3/2
Длина окружности касания: C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3
а) (3 - 2)*180/3=60, б) (5 - 2)*180/5=3*36=108 в) (6 - 2)*180/6 = 120 г) (10 - 2)*180/10=8*18=144 д) (18 - 2)*180/18=16*10=160