А₁А₂ = 2 см
Объяснение:
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.
Пересекающиеся прямые А₁В₁ и А₂В₂ задают плоскость, которая пересекает плоскости α и β по прямым А₁А₂ и В₁В₂, значит
А₁А₂ ║ В₁В₂.
Тогда ∠МВ₁В₂ = ∠МА₁А₂ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых А₁А₂ и В₁В₂ секущей А₁В₁,
∠В₁МВ₂ = ∠А₁МА₂ как вертикальные, значит
ΔВ₁МВ₂ подобен ΔА₁МА₂ по двум углам.
МВ₂ = А₂В₂ - МА₂ = 10 - 4 = 6 см
Пусть А₁А₂ = х, тогда В₁В₂ = х + 1,
6x = 4(x + 1)
6x = 4x + 4
2x = 4
x = 2
А₁А₂ = 2 см
Соединим центры окружостей последовательно с А, В, С и D (cм. рисунок).
Получим 5 треугольников.
Поскольку АВ=ВС=СD, отрезки АВ и СD отсекают от окружностей равные дуги.
Потому центральные углы при них равны.
Расстояния от центров окружности до прямой АD равны, как расстояние от центра до равных хорд.
Следовательно, АD и О₁О₂ параллельны. По свойству параллельных прямых все углы в полученных 5 треугольниках равны. Треугольники равносторонние.
Площадь равностороннего треугольника, выраженного через его сторону, равна
S=(а²√3):4.
Треугольников таких в данном четырехугольнике О₁АDО₂ целых 5, а сторона их равна радиусу.
Искомая площадь равна
S=(5R²√3):4.
