Основанием призмы abca1b1c1 является равносторонний треугольник. вершина a1 проектируется в центр этого основания, ребро aa1 составляет с плоскостью основания угол "фи" найдите объём призмы, если её высота h.
Пусть точка H-проекция точки AA1 на основание, A1H=h-высота призмы, угол A1AH равен фи. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Осталось найти площадь основания. AH=h*ctg "фи", c другой стороны, AH это 2/3 от высоты основания. Пусть высота основания(треугольника ABC) AD, она равна a*sqrt3/2, где a-cторона основания. Тогда AH=a*sqrt3/3=h*ctg "фи". a=sqrt3*h*ctg "фи". Площадь равностороннего треугольника равна a*a*sqrt3/4=3ctg^2 "фи"*h^2*sqrt3/4. Объём равен 3sqrt3/4*ctg^2 "фи"*h^3. Если словами, то получился объём "3 корня из 3 умножить на котангенс в квадрате фи умножить на h в кубе делить на 4.
1. Проводим луч b с началом в точке А перпендикулярно прямой ВС. b∩BC = H. На луче b по другую сторону от прямой ВС откладываем отрезок НА' = AH. Точка A' построена.
2. Проводим луч МО. На этом луче за точку О откладываем отрезок ОМ₁= МО. Точка М₁ построена. М₁(- 4 ; 3)
3. Обозначим гипотенузу с, r - радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника справедлива формула: r = p - c, где р - его полупериметр. p = r + c = 3 + 12 = 15 см
Вариант 2.
1. Проводим луч АС. На этом луче за точку С откладываем отрезок СА₁= АС. Точка А₁ построена.
2. Проводим луч с началом в точке D, перпендикулярно оси Ох. Пусть он пересечет ос Ох в точке Н. На это луче за точку Н откладываем отрезок HD₁ = DH. Точка D₁ построена. D₁(- 3 ; - 2).
3. Центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Пусть вписанный ∠АСВ = х, тогда ∠АОВ = 2х. 2x - x = 50 x = 50 ∠АСВ = 50° ∠АОВ = 100°
АВС - прямоугольный треугольник, угол В = 90 градусов, угол С = 60 градусов, АВ и ВС - катеты, АС - гипотенуза. угол А + угол В + угол С = 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника); угол А + 90 + 60 = 180; угол А = 180 - 150; угол А = 30 градусов. Против угла 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы, тогда: ВС = АС/2. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42. Меньшим катетом в АВС является катет ВС, потому что на него опирается меньший угол А, поэтому: АС + ВС = 42 см. Получаем систему уравнений: ВС = АС/2; АС + ВС = 42. Подставим первое выражение во второе вместо ВС и найдем длину гипотенузы АС: АС + АС/2 = 42; (2АС + АС) / 2 = 42; 3АС / 2 = 42; 3АС = 84; АС = 84 / 3; АС = 28 см. ответ: АС = 28 см.
Площадь равностороннего треугольника равна a*a*sqrt3/4=3ctg^2 "фи"*h^2*sqrt3/4.
Объём равен 3sqrt3/4*ctg^2 "фи"*h^3.
Если словами, то получился объём "3 корня из 3 умножить на котангенс в квадрате фи умножить на h в кубе делить на 4.