Question

Вправильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60 длина бокового ребра 4 см найдите объем

Answer 1

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. 
Все грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. 
Поэтому если плоский угол ври вершине равен 60°, то эти треугольники - равносторонние. Следовательно, стороны основания равны боковому ребру.
Поэтому в пирамиде МАВС
АВ=ВС=АС= МА=4 см.
Объём пирамиды равен одной трети произведения её высоты на площадь основания.
Для правильного треугольника 
S(АВС=(a²√3):4 
S=16√3/4=4√3
Центр ∆ АВС лежит в точке пересечения медиан (высот, биссектрис) правильного  треугольника. 
По свойству медиан АО=2/3•АН=АВ•sin60°•2/3
AO=(4•√3/2)•2/3=4/√3
Из прямоугольного  ∆ АМО по т.Пифагора 
МО=√(АМ²-АО²)=(4√2)/√3 
V=$\frac{4 \sqrt{2}*4 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} *3} = \frac{16 \sqrt{2} }{3}$ см³≈7,54 см³
-------
Правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине 60° -  правильный тетраэдр. 
Формула его объёма 
$V= \frac{ a^{3} \sqrt{2}}{12}$  где а - длина его ребра.
$V= \frac{16*4* \sqrt{2} }{4*3} = \frac{16 \sqrt{2} }{3}$ см³