Question

Впрямоугольном треугольнике авс угол с=90градусам,m -середина ас.n-середина ав,угол аnm=45 градусами mn=4 cм, найдите: а)стороны треугольника авс и длину отрезка bm б)площадь треугольника amn и площадь чытерехугольника mnbc

Answer 1

A) 1. Т.к. точки M и N - середины отрезков АС и АВ по условию, то MN - средняя линия треугольника. Зная, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, находим СВ:
СВ = 2 х MN = 2 x 4 = 8 см
2. Получившиеся треугольники ANM и АВС - подобны по первому признаку подобия треугольников: угол А - общий, углы ANM и АВС равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых NM и СВ секущей АВ. Значит, угол ANM равен углу АВС:
< АВС = 45°. 
Найдем неизвестный угол А, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:
<А = 180 - 90 - 45 = 45°
Значит, треугольники ANM и АВС - равнобедренные, т.к. углы при основании треугольников равны. Следовательно, катет АС равен СВ:
АВ = СВ = 8 см
3. Пользуясь теоремой Пифагора, находим гипотенузу треугольника АВС, зная два его катета:
АB = √AC²+ CB² = √8² + 8²=√128 = √64 *2= 8√2 см
4. В прямоугольном треугольнике МВС по теореме Пифагора найдем сторону МВ, которая является гипотенузой в этом треугольнике. Катеты СВ и СМ треугольника нам известны:СВ = 8 см, СМ = 4 см, т.к. М - середина стороны АС по условию:
МВ = √MC²+ CB² = √4² + 8² = √80 = √16*5 = 4√5 см
б) Площадь прямоугольного треугольника ANM равна половине произведения его катетов:
S = АМ х MN / 2 = 4 x 4 / 2 = 8 см²
Четырехугольник MNBC - трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. 
MN = 4 см, СВ = 8 см, высота МС = 8 / 2 = 4 см, 
S = (MN + CB) / 2 x MC
S = (4 + 8) / 2 x 4 = 24 см²