Дан правильный тетраэдр МАВС. Все его ребра равны. АВ=АС=ВС=МА=МВ=МС=√6/2.
Через точку А₁ на ребре АВ, АА₁=А₁В в плоскости треугольника АМВ проведем прямую параллельную прямой АМ. Получим точку М₁, лежащую на ребре МВ, такую, что ММ₁=М₁В. АМ || A₁M₁. Через точку М₁ в грани МВС проведём прямую параллельную МС. Получим точку С₁ на ребре ВС, так что ВС₁=С₁С. МС || М₁С₁ Соединим точки А₁ и С₁, получим треугольник А₁С₁М₁ - нужное нам сечение. Причем А₁С₁ || AC, так как является средней линией треугольника АВС. Каждая сторона треугольника А₁М₁С₁ является средней линией треугольника АМС и А₁М₁=А₁С₁=М₁С₁=√6/4
Чтобы найти расстояние между плоскостями АМС и А₁М₁С₁ опустим перпендикуляр из точки В на плоскость АМС. Так как дан тетраэр, то вершина В проектируется в центр окружности, описанной около правильного треугольника АМС ОА=ОС=ОМ=R Аналогично точка О₁ - центр окружности, описанной около правильного треугольника А₁М₁С₁ О₁А₁=О₁С₁=О₁М₁=R/2 в силу подобия треугольников АМС и А₁М₁С₁ с коэффициентом подобия 2.
радиус окружности описанной около равностороннего треугольника можно найти по формуле
при a=√6/2 получаем R=√6/2 ·√3/3=√2/2 Тогда по теореме Пифагора ВО²=АВ²-АО²=(√6/2)²-(√2/2)²=6/4 - 2/4=4/4=1 Значит ВО₁=1/2 в силу подобия и ОО₁=ВО-ВО₁=1/2 ответ 1/2
Высота равнобедренного треугольника, проведенного к основанию 6, делит основание пополам. ( cм. рисунок в приложении) Высота разбивает равнобедренный треугольник на два прямоугольных с гипотенузой 5 см и катетом 3 см. Второй катет 4 см ( по теореме Пифагора, это египетский треугольник) S=6·4/2=12 кв. ед Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности (см. рисунок, три прямоугольных треугольника равны по катету ( высота пирамиды - общая и острому углу) r=S/p=12/(5+5+6)/2=24/16=3/2=1,5 H=r·tg60°=1,5·√3=3√3/2
