Дана прямая а и точка М, не лежащая на ней.
Проводим дугу с центром в точке М (черная), произвольного радиуса, большего расстояния от точки М до прямой.
Получили две точки пересечения дуги и прямой а. Обозначим их А и В.
Теперь построим две окружности (красных), с центрами в данных точках, произвольного одинакового радиуса (большего половины отрезка АВ).
Точки пересечения этих окружностей назовем К и Н.
Проводим прямую КН.
КН - искомый перпендикуляр к прямой а.
Доказательство:
Если точка равноудалена от концов отрезка, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.
АК = КВ как равные радиусы, значит К лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
АН = НВ как равные радиусы, значит Н лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
КН - серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
МА = МВ как равные радиусы черной окружности, значит и точка М лежит на прямой КН, т.е. перпендикуляр к прямой а проходит через точку М.
В нашем случае: |AB|=√[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²+(Zb-Za)²] или
|AB|=√[(-1-1)²+(4-3)²+(2-4)²] =√(4+1+4)=√9=3.
Координаты середины отрезка AB найдем по формуле
x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2.
Xab=(1-1)/2 = 0;
Yab=(4+3)/2=3,5;
Zab=(4+2)/2=3.
2. Xab=-2-1=-3;
Yab=4-0=4;
Zab=2-2=0.
|AB|=√[(-3)²+(4)²+(0)²] =√(9+16+0)=√25=5.