Достроим треугольник до квадрата симметрично его гипотенузы. Площадь квадрата вдвое больше площади треугольника, то есть Sк=2Sт=2·40.5=81 см². Площадь квадрата: Sк=d²/2 ⇒ d=√(2·Sк)=√(2·81)=9√2 см, где d - диагональ квадрата и гипотенуза треугольника. Сторона квадрата: a=d/√2=9 см. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Длина описанной окружности: C=2πR=πd=9√2π см - это ответ. Формула радиуса вписанной окружности: r=(a+b-c)/2. a=b, c=d. r=(2a-d)/2=(2·9-9√2)/2=9(2-√2)/2. Длина вписанной окружности: c=2πr=9(2-√2)π см - это ответ.
Как известно, сумма квадратов косинусов углов между диагональю прямоугольного параллелепипеда и ребрами, исходящими из одной вершины, равна 1. Поскольку косинус 60 градусов равен 1/2, получаем
(1/2)^2+(1/2)^2+cos^2 Ф=1⇒cos^2 Ф =1/2; cos Ф=√2/2; Ф=45°
Если Вы эту формулу не знаете, давайте выведем ее. Воспользуемся тем, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то есть ребер, выходящих из одной вершины: a^2+b^2+c^2=d^2, а тогда (a/d)^2+(b/d)^2+(c/d)^2=1. Отношения a/d; b/d; c/d и являются косинусами нужных углов.
