Точка касания с гипотенузой ВС является точка Е (СЕ=2, ВЕ=3), с катетом АС точка К, с катетом АВ точка М. Угол А прямой.
СЕ=СК=2, длины отрезков выходящих из одной вершины до точек касания к окружности равны, по этому же правилу
ВЕ=ВМ=3
Центр окружности О, r-радиус окружности. ОК=ОМ=r и ОК перепендик АС, ОМ перпендик АВ. АМОК-квадрат и АМ=АК=r
Тогда АС=r+2, АВ=r+3, ВС=2+3=5 по теореме Пифагора
ВС^2=АС^2+АВ^2
5^2=(r+2)^2+(r+3)^2
r^2+4r+4+ r^2+6r+9=25
2r^2+10r+13=25
2r^2+10r-12=0 сократим все на 2
r^2+5r-6=0
найдем дискрим. Д=25+24=49
корень из Д=7
r1=(-5+7)/2
r1=1
r2=(-5-7)/2=-6(радиус не может быть отрицательным)
Радиус вписан.окружности равен r=1см
ответ: длина отрезка AH равна 3,2 см.
∠АВС = ∠DCB = 150°, так как трапеция равнобедренная.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°:
∠ВАD = ∠CDA = 180° - 150° = 30°
Проведем высоты ВН и СК.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, ∠ВАН = 30°, tg∠BAH = BH/AH,
AH = BH / tg30° = √3 / (√3/3) = 3.
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD так как трапеция равнобедренная, ВН = СК как высоты трапеции), ⇒
KD = AH = 3.
НВСК - прямоугольник (ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой, ВН = СК как высоты трапеции), значит
НК = ВС = 8.
AD = AH + HK + KD = 3 + 8 + 3 = 14
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH = (14 + 8)/2 · √3 = 11√3 кв. ед.