Пусть ∠NKL = ∠MKP = φ - π/2 = α; неизвестная площадь NKM = s; a - s = KL*KN*sin(α)/2; b - s = KM*KP*sin(α)/2; если это перемножить, то (a - s)*(b - s) = KL*KN*KM*KP*(sin(α))^2/4 = a*b*(sin(α))^2; (a - s)*(b - s) = a*b*(sin(α))^2; осталось решить квадратное уравнение s^2 - (a + b)*s + a*b*(cos(α))^2 = 0; s = (a + b)/2 +- √((a + b)^2 - a*b*(cos(α))^2); s = (a + b)/2 +- √(a^2 + b^2)/2 + a*b*(sin(α))^2); Осталось понять, какой оставить знак. s = (a + b)/2 - √(a^2 + b^2)/2 + a*b*(cos(φ))^2);
я нашел частный случай, очень легкий, и по нему можно понять, что остается именно "минус". Пусть α = π/6; и сам треугольник KLM имеет угол L = π/6; оба треугольника получаются одинаковые, и их пересечение имеет площадь a/2, то есть s = (a + b)/4
Пусть ABCD - равносторонняя трапеция с основаниями AD (нижнее) и BC (верхнее), KLMN - точки касания окружности со сторонами трапеции AB, BC, CD и AD соответственно. Тогда AK=16, KB=9. Т. к. трапеция равносторонняя, то DM=AK=16, MC=KB=9. Т.к. касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то BK=BL=9, CL=CM=9, AK=AN=16, DM=DN=16. Т.е. верхнее основание BC=BL+LC=9+9=18, нижнее AD=AN+ND=16+16=32.
Проведём высоты трапеции BH и СG. Т.к. трапеция равнобедренная, то HG=BC=18, . Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABH .
. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABH 
.
