Дан равнобедренный треугольник авс с основанием ас. отрезок mn с концами на боковых сторонах является средней линией треугольника и равен √15.около треугольника описана окружность с центром о и радиусом, равным 8.найти длину отрезка ом
1. PABCD - правильная пирамида. PO_|_ (ABCD) РА=10 см, РО=8 см, <POA=90° ΔPOA. по теореме Пифагора: AO²=PA²-PO² AO²=10²-8², AO²=36, AO =6 см. ΔADC: AC=2AO, AC=12 см, AD=DC=a по теореме Пифагора: AO²=AD²+CD² 12²=a²+a², 144=2a², a²=72, a=√72, a=6√2 см ответ: сторона основания АВ=6√2 см
2. Sбок.пов. =(1/2)Pосн*h h - апофему боковой грани правильной пирамиды найдем по теореме Пифагора из ΔАКР: PK_|_AB, AK=(1/2)AB, AK=3√2 см PA²=AK²+PK², 10²=(3√2)²+PK², PK²=100-18, PK²=82, PK=√82 см S=(1/2)*4*6√2*√82=12√164=12√(4*41)=24√41 S бок.=24√41 см²
а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС. Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ. Точки пресечения - это Д и Е. Примем длину отрезка АК за 1. Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3. Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1. Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию). По теореме косинусов Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ. КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов). Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти. Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД. Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле: АЕ ДЕ АД p 2p S = 1 0.8694729 0.5773503 1.2234116 2.446823135 0.25 haе hде hад 0.5 0.57506 0.86603
КЕ ДЕ КД p 2p S = 1.4142136 0.869473 1.154701 1.719194 3.43839 0.501492 hке hде hкд 0.7092 1.15356 0.86861. Отношение высот hде и hде - это косинус искомого угла: cos α = 0.57506 / 1.15356 = 0.498510913. ответ: α = 1.048916149 радиан = 60.09846842°.
Решение: Центр О описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника.
Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника) .
Cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Поэтому AC=2*MN=2*корень (15).
Пусть ВК – медиана, проведенная к основанию АС, тогда
АК=СК=1\2*АС=
1\2* 2*корень (15)=корень(15).
1 случай) Если центр О описанной окружности лежит внутри треугольника АВС, тогда:
По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2
OK^2=8^2-(корень(15))^2=49
ОК=7
ВК=ОВ+ОК=8+7=15.
По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.
ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15).
По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL
BL=KL=1\2*BK=1\2*15=7.5
LO=OB-BL
LO=8-7.5=0.5
MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO.
По теореме Пифагора:
OM^2=LO^2+ML^2
OM^2=0.5^2+(1\2*корень (15))^2=4
OM=2
2 случай) Если центр О описанной окружности лежит вне треугольника АВС, тогда:
По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2
OK^2=8^2-(корень(15))^2=49
ОК=7
ВК=ОВ-ОК=8-7=1.
По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.
ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15).
По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL
BL=KL=1\2*BK=1\2*1=0.5
LO=OB-BL
LO=8-0.5=7.5
MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO.
По теореме Пифагора:
OM^2=LO^2+ML^2
OM^2=7.5^2+(1\2*корень (15))^2=60
OM=корень(60)=2*корень(15)
з.і. вроде так*