1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике есть прямой угол, равный 90°. 180° - 90° = 90° -- сумма оставшихся двух острых углов.
2. В прямоугольном треугольнике если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Это теорема об угле в 30° в прямоугольном треугольнике.
3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше другого. Острые углы этого треугольника равны 60° и 30°
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Пусть x градусов -- меньший острый угол, тогда 2x градусов -- больший, имеем
x + 2x = 90
3x = 90
x = 30° -- меньший острый угол
2x = 60° -- больший острый угол
4. Один из углов прямоугольного треугольника на 18° больше другого. Углы треугольника равны 1) 90°, 36°, 54°; 2) 90°, 72°, 18°
Задача имеет два ответа.
Треугольник прямоугольный ⇒ один из углов равен 90°
1 случай. Один острый угол больше другого на 18°.
Пусть x градусов -- меньший острый угол, тогда (x + 18) градусов -- больший, имеем
x + (x + 18) = 90
2x + 18 = 90
2x = 72
x = 36° -- первый острый угол
x + 18 = 54° -- второй острый угол
2 случай. Острый угол на 18° меньше, чем прямой угол (больше нельзя, так как в прямоугольном треугольнике нет тупых углов), тогда
90° - 18° = 72° -- величина первого острого угла
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то найдём второй острый угол:
90° - 72° = 18°
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Пусть x градусов -- меньший острый угол, тогда 2x градусов -- больший, имеем
x + 2x = 90°
3x = 90°
x = 30° -- меньший острый угол
2x = 60° -- больший острый угол
5. Существует ли треугольник с двумя прямыми углами? Нет.
Предположим, что такой треугольник существует. Тогда по теореме о сумме углов треугольника третий угол будет равен 0°, что невозможно для треугольника. Значит предположение неверное.
6. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против большего угла -- это гипотенуза.
У прямоугольного треугольника есть своя терминология. Стороны называются катетами и гипотенузами. Последняя лежит напротив прямого угла (он же наибольший в треугольнике).
7. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, а противолежащий ему катет равен 6 см. Гипотенуза равна 12 см.
Воспользуемся теоремой об угле в 30° в прямоугольном треугольнике. По ней, катет, лежащий напротив угла 30°, в два раза меньше гипотенузы, то есть гипотенуза в 2 раза больше катета:
6 * 2 = 12 см
8. Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 90°, 45°, 45°.
Треугольник прямоугольный ⇒ один из углов равен 90°.
Треугольник равнобедренный, значит острые углы равны. В сумме они дают 90°. Пусть x градусов -- острый угол такого треугольника, тогда
x + x = 90°
2x = 90°
x = 45° -- острые углы треугольника
9. В треугольнике АВС ∠С = 90°, ∠В = 60°, СВ = 6 см, тогда AB = 12 см.
Найдём угол A: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°
Воспользуемся теоремой об угле в 30°: AB = 2CB = 2 * 6 = 12 см
10. В ΔАВС ∠С = 90°, АВ = 15 см, СВ = 7,5 см, тогда ∠В = 60°.
∠A лежит напротив стороны CB, при этом 2CB = AB ⇒ по теореме об угле в 30° ∠A = 30°
Сумма острых углов 90° ⇒ ∠B = 90° - ∠A = 60°
Пусть один угол х°, тогда второй х°+40°, и вместе они составляют 180°.
х+х+40°=180°
2х=140°
х=70°
Второй угол равен
70°+40°=110°
Проверка:
70°+110°=180°- решение верное.