Question

Втреугольнике abc сторона ab=16 , ac=64 , точка o — центр окружности, описанной около треугольника abc . прямая bd , перпендикулярная прямой ao , пересекает сторону ac в точке d . найдите cd .

Answer 1

Проведем из вершины $B,C$ отрезки $BE;EC$ , где точка $E$ пересечение с окружностью. Обозначим точку перпендикуляра $BD$ с   $AO$ $G$. 
Получим  четырехугольник $ABCE$ , который вписан  в окружность. 
По теореме Птолемея $64*BE+16*EC=AE*BC$, так как   $AE$     лежит  на центре    , то треугольники  $ABE;ACE$ прямоугольные. 
$AE=\sqrt{64^2+EC^2}\\ BC=\sqrt{16^2+BE^2}$ . 
Откуда  при подстановке получаем соотношение 
$BE*EC=1024$. 
Так как $\sqrt{16^2+BE^2}=\sqrt{64^2+(\frac{1024}{BE})^2}\\\\ BE=64\\\\ EC=16$
Четырехугольник прямоугольник. 
Заметим что $BG$ - высота прямоугольного треугольника 
$ABE$ , тогда 
$BG=\frac{16*64}{\sqrt{16^2+64^2}}=\frac{64}{\sqrt{17}}$.
Откуда по Теореме Пифагора 
 $BG^2+AG^2=16^2\\ AG=\sqrt{16^2-\frac{64^2}{17}}=\frac{16}{\sqrt{17}}\\$ , так как  $AG$ является высотой  прямоугольного  треугольника  $BAD$ , то 
 $AG=\frac{16AD}{\sqrt{16^2+AD^2}}\\\\ \frac{16}{\sqrt{17}}=\frac{16AD}{\sqrt{256+AD^2}}\\\\ \sqrt{256+AD^2}=\sqrt{17}AD\\\\ 256+AD^2=17AD^2\\\\ 16AD^2=256\\\\ AD=4$ 
 тогда $CD=64-4=60$