Question

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. найти отношение радиусов вписанной и описанной окружности относительно этого треугольника.

Answer 1

Воспользуемся двумя формулами для площади тр-ка:

S = abc/(4R)

S = pr,             где p = (a+b+c)/2, r и R - радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.

Тогда:  R = (abc)/(4S)

             r = S/p                     r/R = (4S^2) / (pabc)     (1)

Площадь через стороны по формуле Герона:         (p= (13+14+15)/2 = 21)

S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) = 21*8*7*6 = 7056

r/R = (4*7056) / (21*13*14*15) = 32/65  (примерно 1:2)

ответ: r/R = 32/65 (примерно 1:2)

Answer 2

вписанной окружности

r=2S/(a+b+c) 

описанной окружности

R=abc/4S 

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))

p=½(a+b+c) (p - половину периметра треугольника)

p=½(13+14+15)
p=½*42

p=21

S=√(21(21-13)(21-14)(21-15))

S=√(21*8*7*6)

S=√7056

S=84

r=2*84/(13+14+15)

r=168/42

r=4

R=13*14*15/(4*84)

R=2730/336

R=8,125

r/R=4/8,125

r/R=4/(8125/1000)

r/R=4*1000/8125

r/R=4000/8125

r/R=32/65