Пусть P - произвольная точка
PK, PL, PM - перпендикуляры к сторонам треугольника ABC
По теореме Пифагора для треугольников PAK и PBK
PK^2 =PA^2 -AK^2 =PB^2 -BK^2 <=> PA^2 -PB^2 =AK^2 -BK^2
(Доказали, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций.)
PB^2 -PC^2 =BL^2 -CL^2
PC^2 -PA^2 =CM^2 -AM^2
Сложим:
AK^2 -BK^2 +BL^2 -CL^2 +CM^2 -AM^2 =0 <=>
AK^2 +BL^2 +CM^2 =CL^2 +BK^2 +AM^2
Если перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, то выполняется это равенство.
(Обратное док-во: разность квадратов наклонных для двух пересекающихся перпендикуляров подставляем в доказанное равенство - получаем разность квадратов наклонных для третьего отрезка - тогда он также является перпендикуляром.)
Проверим данные из условия
AK=BK=6, BL=AM=1
CM= {9, 11}
CL= {7, 9}
CM^2 =CL^2 в одном случае:
точка M на стороне, точка L на продолжении стороны.
Сложно без рисунка. /добавить не могу, не работает вложение./
Но попытаюсь.
а) Периметр трапеции - это сумма всех сторон трапеции. она равна 90 см. Чтобы составить уравнение для нахождения сторон, надо стороны выразить через переменную х и приравнять сумму к 90.
б) Сразу об основаниях трапеции. Средняя линия треугольника, как известно, равна половине основания. А диагональ трапеции делит трапецию на два треугольника, где средняя линия каждого треугольника в два раза меньше оснований трапеции, если обозначить меньший отрезок средней линии через х см, то меньшее основание трапеции равно 2х /см/, тогда больший отрезок средней линии равен (х+5) см, а большее основание трапеции
2*(х+5)=2х+10 /см/.
в) разберемся с боковыми сторонами.
Если из тупых углов провести на большее основание трапеции высоты, то большее основание разобьется на три отрезка, один из них будет равен верхнему основанию и два равных можно найти. Почему равных? Потому что трапеция равнобедренная. Это следует из условия. что углы при верхнем меньшем основании равны. Они равны по 120°. углы. прилежащие к боковой стороне, в сумме составляют 180°, значит, углы при нижнем большем основании по 60°
( 180°-120°=60°), значит, опустив высоту на большее основание, получим два треугольника, в которых углы по 90°( т.к. высота проводится под прямым углом), 60° и 30° (180°-60°-90°=30°), и против этого угла лежит катет, равный половине гипотенузы. А гипотенуза - боковая сторона треугольника, отсекаемого высотой. Значит, если боковая сторона 2у, то равные отрезки нижнего основания по у см. и нижнее основание равно у+2х+у=2у+2х.
Но это же нижнее основание мы нашли выше, оно равно 2х+10⇒
2х+10=2у+2х⇒у=5, значит, боковая сторона равна 2*у= 2*5=10 /см/, а верхнее основание и нижнее основание найдем, используя уравнение - сумма всех сторон 10+10+10+2х+2х=90; 4х=60; х=15, значит, верхнее основание 2х=2*15=30 /см/, а нижнее 2у+2х=10+2*15=40/см/.
Проверка. 40+30+10+10=90/см/
Средняя линия равна полусумме оснований. т.е. (40+30)/2=35/см/,
т.к. меньшее основание 30 см, то отрезок средней линии, параллельной этому основанию. равно 15 см, аналогично, для большего основания. оно равно 40 м, а его половина, т.е. отрезок средней линии равен 40/2=20/см/, как видим, 20-15=5/см/. что указано в условии.
Задача решена верно.
ответ нижнее большее основание равно 40 см, верхнее меньшее основание равно 30 см, боковые стороны равны по 10 см.
