Question

Боковое ребро правельной четыри угольной пирамиды ровно 16см и образует с плоскостью основы угол 60 градусов найти: площадь боковой поверхности. нарисуйте рисунок к

Answer 1

1.В основании пирамиды лежит квадрат, проекция бокового ребра на основания даст половину диагонали квадрата
(d = b*cos60=16*1/2=8 (см) ),
диагональ квадрата равна 16 (см), тогда сторона квадрата равна 
 $a = \frac{d}{ \sqrt{2} } = \frac{16}{ \sqrt{2} } = \frac{16 \sqrt{2} }{2} =8 \sqrt{2}$

2. Определяем Площадь основания: 

S (осн) = a² = (8√2)² = 64*2 = 128 (см²).

3. Периметр основания:

P (осн) = a * n = 8√2 * 4 = 32√2 (где n - n-угольный, в данном случае у нас четырёхугольной)

4. Апофема(гипотенуза) - ищется с прямоугольного треугольника

Для апофемы нужно найти высоту и радиус вписанной окружности основания

$r_2 = \frac{ \frac{a}{2} }{tg \frac{180}{n} } = \frac{8 \sqrt{2}/2 }{tg45} = \frac{8 \sqrt{2}/2 }{ } =4 \sqrt{2}$ - это радиус вписанного окружности  основания

$R_2 = \frac{r_2}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} =2\sqrt{2}$ - радиус описанной окружности основания

$h = \sqrt{b^2-R_2^2} = \sqrt{16^2-(2\sqrt{2})^2} = \sqrt{256-8} = \sqrt{248} =2 \sqrt{62}$

И так апофема

$f= \sqrt{h^2+r^2_2} = \sqrt{(2 \sqrt{62})^2+ (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{62*2+16*2} =\\= \sqrt{124+32}=\sqrt{156} =2 \sqrt{39}$

3. Площадь боковой поверхности

$S= \frac{1}{2} p(OCH)*f= \frac{1}{2} *32 \sqrt{2} *2 \sqrt{39} =32 \sqrt{78}$

ответ: 32√78 (см²).