Окружность, вписанная в правильный треугольник
Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.
1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.
okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnikНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр вписанной окружности.
AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.
\[AK \cap BF = O,\]
\[AK \cap CD = O.\]
2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:
\[OF = \frac{1}{3}BF,\]
\[r = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности
\[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Объяснение:
Площадь основания вычисляется по формуле πR², а площадь боковой поверхности - 2πR*h, где R - радиус основания, а h - высота цилиндра. По условию, эти площади относятся как 1:2, поделим выражения друг на друга:
( πR²)/(2πR*h) = 1/2 , сокращаем πR:
R/2h = 1/2
R/h = 1; R = h.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами 2R и H, угол α между его диагоналями равен двум углам φ. tgφ = h/2R (см. рис.), => tgφ = 1/2, φ = arctg(1/2), α = 2 arctg(1/2); α ~ 53,1°.
Надеюсь