Question

Втрапеции abcd с основаниями ab=30 cd=24, диагонали пересекаются в точке е . известно , что ad =4*корень из 3 , а угол dab=60 градусов.найти площадь треугольника bce .найти утроенный квадрат расстояния от точки е до прямой ad

Answer 1

Опустим высоту из вершины    $D$ , получим прямоугольный треугольник    $ADH$ ,  откуда 
 Высота $DH=4\sqrt{3}*sin60=6$ 
 Найдем длину диагонали 
 $DB=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+30^2-2*4\sqrt{3}*30*cos60}=\sqrt{948-40\sqrt{27}}\\$ 
  
Треугольники $DEC;AEB$ подобны , 
 $\frac{DE}{DB-DE}=\frac{24}{30}\\ \frac{DE}{\sqrt{948-40\sqrt{27}}-DE}=\frac{4}{5}\\ DE=\frac{8}{3}\sqrt{\frac{79}{3}-\frac{10}{\sqrt{3}}\\$ 
$AC=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+24^2-2*4\sqrt{3}*24*cos120} = \sqrt{32\sqrt{27}+624}$ 
$\frac{EC}{\sqrt{32\sqrt{27}+624}-EC} = \frac{4}{5} \\ EC=\frac{16}{3}\sqrt{\frac{13}{3}+\frac{2}{\sqrt{3}}$ 
   Площадь трапеции 
    $\frac{24+30}{2}*6=162$ 
 $S=\frac{AC*DB}{2}*sinADEA = 162\\ AC=\sqrt{32\sqrt{27}+624}\\ DB=\sqrt{948-40\sqrt{27}}\\ sinDEA=\frac{324}{\sqrt{948-40\sqrt{27}}*\sqrt{32\sqrt{27}+624}}$ 
    $S_{BCE}=S_{AED}\\ S_{BCE}=\frac{DE*AE}{2}*sinDEA=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{\frac{79}{3}-\frac{10}{\sqrt{3}}}*\sqrt{32\sqrt{27}+624}-\frac{16}{3}\sqrt{\frac{13}{3}+\frac{2}{\sqrt{3}}}}{2}$$*sinDEA=40$ 
  Расстояние   $4\sqrt{3}*x*0.5=40\\ x=\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20*\sqrt{3}}{3}\\$     

ответ  утроенный квадрат равен $3*\frac{400*3}{9} = 400$
ответ площадь треугольника равна   $40$