Правило: Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки до точек касания равны. Обозначим точки касания: F - на стороне АВ, М - на стороне СВ, К - на стороне АС. Примем за х коэффициент пропорции 2х/3х (для AF :FB). То есть АF=2x и FB=3x. Тогда получим FB=MB=3x , AF=AK=2x , CK=CM=9-2x. Чему равные катеты: AC=9 CB=СМ+МВ=(9-2x)+3x= 9+x гипотенуза АВ=AF+FB=2x+3x=5x По теореме Пифагора (5х)^2=9^2+(9+x)^2 25x^2=81+81+18x+x^2 24x^2-18x-162=0 Решаем квадратное уравнение и находим х=3. Значит стороны равны 9, 12 и 15. По формуле r=1/2(a+b-c)=1/2(9+12-15)=3. ответ радиус равен 3.
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. AC - диагональ, МN - средняя линия трапеции, пересекающаяся с диагональю AC в точке О. Рассмотрим треугольники АВС и АМО: - угол BAС = углу МАО (общий угол); - угол ABC = углу АМО (как односторонние углы при параллельных прямых АD и МN и секущей АВ). Следовательно, треугольники подобны по двум углам с коэффициентом 2 (т.к. средняя линия проходит через середины боковых сторон). Следовательно, ВС = МО * 2 = 3 * 2 = 6 см МN = 3 + 4 = 7 см АD = 7 * 2 - 6 = 8 см
1. Так как CD = EF, трапеция равнобедренная. В ней углы при основаниях равны: ∠D = ∠E = 120°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, значит ∠C = ∠F = 180° - 120° = 60°
2. Проведем высоты DH и ЕК. Они равны как расстояния между параллельными прямыми и параллельны как перпендикуляры к одной прямой, значит DHKE - прямоугольник, НК = DE = 8 см
ΔCDH = ΔFEK по гипотенузе и катету (CD = EF по условию, DH = ЕК как доказано выше), следовательно СН = KF = (CF - HK)/2 = (14 - 8)/2 = 3 см
ΔCDH: ∠CHD = 90°, ∠DCH = 60°, ⇒ ∠CDH = 30°. CD = 2CH = 2 · 3 = 6 см по свойству катета лежащего напротив угла в 30°.
Чему равные катеты: AC=9 CB=СМ+МВ=(9-2x)+3x= 9+x гипотенуза АВ=AF+FB=2x+3x=5x По теореме Пифагора (5х)^2=9^2+(9+x)^2
25x^2=81+81+18x+x^2 24x^2-18x-162=0 Решаем квадратное уравнение и находим х=3. Значит стороны равны 9, 12 и 15. По формуле r=1/2(a+b-c)=1/2(9+12-15)=3. ответ радиус равен 3.