Втрапеции abcd стороны ab и cd параллельны и cd = 2ab. на сторонах ad и bc выбраны точки p и q соответственно так, что dp : pa = 2, bq : qc = 3 : 4. найдите отношение площадей четырёхугольников abqp и cdpq.
Дана трапеция АВСД : АВ || СD, CD=2AD. DP : PA = 2, BQ : QC = 3 : 4 Найти отношение площадей четырёхугольников ABQP и CDPQ. Решение. ( см. рисунок) Обозначим AB=a, CD=2a. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения. Получим треугольник DКC. AB- средняя линия этого треугольника, так как AB || CD и СD=2AB. Значит DA=AК и CB=КB.
Обозначим АР=x, тогда DР=2х ( см. условие DP : PA = 2) и AD=3x=AK ВQ=3y, тогда QC=4y и ВС=7у=КВ.
Обозначим высоту трапеции h и найдем площадь трапеции S=(a+2а)h/2=3ah/2. Отсюда ah=2S/3
Высота треугольника DKB равна 2h, высота треугольника АКВ равна h. (АВ- средняя линия треугольника DKB)
Площадь треугольника КАВ: ah/2=S/3. Площадь треугольника КDC: (2a·2h)|2=2ah=4S/3
Найдем площадь треугольника КАВ по другой формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (АК ·КB·sinα)/2, где α- угол между АК и КВ. Приравняем найденные площади треугольника КАВ: S/3=(3х·7у·sinα)/2⇒ x·y·sinα=2S/63. Найдем площадь треугольника КPQ по той же формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (РК·KQ·sinα)/2. Получим (4х·10у·sinα)/2= 20х·у·sinα=( заменим х·у·sinα на 2S/63)=40S/63 Площадь четырехугольника АВQP найдем вычитая из площади треугольника PKQ площадь треугольника КАВ: S₁=40S/63-S/3=19S/63. Площадь четырехугольника CDPQ найдем вычитая из площади треугольника KDC площадь треугольника КQP: S₂=4S/3-40S|63=44S|63 Находим S₁:S₂=19S/63 : 44S/63=19/44. ответ 19:44
1. Рисуем ∠ B =45°. Откладываем отрезки ВА=3 см и АD=7 cм Через точки В и D проводим паралелльные прямые до пересечения в точке C 2. Рисуем прямой угол A Откладываем на сторонах угла отрезки равные 4 и 8 см АВ=4 см ВD= 8 cм Проводим перпендикуляр из точки D. Строим отрезок DC= 4 cм Соединяем В и С
3, Проводим две взаимно перпендикулярные прямые. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. Откладываем от точки пересечения отрезки 4 и 4 влево и вправо и 2 и 2 вверх и вниз. См. рисунок
решение пусть в выпуклом четырехугольнике abcd ав + cd =вс +ad. (1) точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd.
предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' описанный четырехугольник, то по свойству его сторон
но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем:
правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству
т.е. в четырехугольнике ccdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать.
DP : PA = 2, BQ : QC = 3 : 4
Найти отношение площадей четырёхугольников ABQP и CDPQ.
Решение. ( см. рисунок)
Обозначим AB=a, CD=2a. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения. Получим треугольник DКC.
AB- средняя линия этого треугольника, так как AB || CD и СD=2AB.
Значит DA=AК и CB=КB.
Обозначим АР=x, тогда DР=2х ( см. условие DP : PA = 2) и AD=3x=AK
ВQ=3y, тогда QC=4y и ВС=7у=КВ.
Обозначим высоту трапеции h и найдем площадь трапеции S=(a+2а)h/2=3ah/2.
Отсюда ah=2S/3
Высота треугольника DKB равна 2h, высота треугольника АКВ равна h.
(АВ- средняя линия треугольника DKB)
Площадь треугольника КАВ: ah/2=S/3.
Площадь треугольника КDC: (2a·2h)|2=2ah=4S/3
Найдем площадь треугольника КАВ по другой формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (АК ·КB·sinα)/2, где α- угол между АК и КВ.
Приравняем найденные площади треугольника КАВ:
S/3=(3х·7у·sinα)/2⇒ x·y·sinα=2S/63.
Найдем площадь треугольника КPQ по той же формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (РК·KQ·sinα)/2.
Получим (4х·10у·sinα)/2= 20х·у·sinα=( заменим х·у·sinα на 2S/63)=40S/63
Площадь четырехугольника АВQP найдем вычитая из площади треугольника PKQ площадь треугольника КАВ:
S₁=40S/63-S/3=19S/63.
Площадь четырехугольника CDPQ найдем вычитая из площади треугольника KDC площадь треугольника КQP:
S₂=4S/3-40S|63=44S|63
Находим S₁:S₂=19S/63 : 44S/63=19/44.
ответ 19:44