Question

На одной стороне от центра круга радиусом r проведены две параллельные хорды. найдите площадь между двумя , если их центральные углы равны 120 и 60 градусов

Answer 1

Соединив две  хорды получим трапеция  ,   пусть меньшее  основание равно $AB$ , большее $CD$      
$AB=R$ так как треугольник  $ABO$ равносторонний  
$CD=\sqrt{2R^2 -2R^2*cos120}=\sqrt{3}R$     
 Найдем высоту трапеций  , по свойству хорд получим 
 $(2R-x)x=(\frac{R}{2})^2$  
 $x$  высота сегмента $AB$ 
 $x= \frac{(2-\sqrt{3})R}{2}$ 
 $(2R-y)y=(\frac{\sqrt{3}R}{2})^2$ 
 $y$      высота сегмента $AD$ 
   $y=\frac{R}{2}$ 
  высота трапеций 
 $H=\frac{R-(2-\sqrt{3})R}{2} = \frac{(\sqrt{3}R-1)}{2}$ 
 $S_{trap}=\frac{(R+\sqrt{3}R)*(\sqrt{3}R-1)}{4}$ 
  Найдем площади    сегментов 
  $AC;BD$ 
  $S_{AC}=S_{BD} = R^2arcsin(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}) - \frac{\sqrt{R^2(2-\sqrt{3})}}{4}\sqrt{4R^2-(R^2(2-\sqrt{3}))} =\frac{(\pi-3)}{12}$ 
 
То есть $\frac{(\pi-3)R^2}{6}+\frac{R^2}{2} = \frac{\pi*R^2}{6}$
 
 
  

Answer 2

Площадь большого сегмента   Это   разность  между всем сектором и прилагающимся треугольником,то же касается малого сегмента
S1=pi*R^2/3 -1/2*R^2*sin120=pi*R^2/3-√3/4 *R^2
S2=pi*R^2/6 -1/2*R^2*sin60=pi*R^2/6-√3/4*R^2
Площадь   закрашенной   части   разность  между площадями  большого  и малого сегментов
S=pi*R^2(1/3-1/6)=pi*R^2/6 
ответ:1/6 *pi*R^2