На основании ac равнобедренного треугольника abc как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону ab в точке d, bc - в точке e. определите сторону ab, если ad=30 см, а хорда de равна 14 см.
См. рисунок. Треугольник АВС- равнобедренный. Углы при основании равны, поэтому угол А равен углу С. Угол А вписанный и опирается на дугу DEC, Угол С вписанный и опирается на дугу ADE. Дуга DE- общая, значит дуга AD равна дуге ЕС. Поэтому DE || AC. Проведем радиусы ОD и ОЕ. АО=ОС=OD=ОЕ=к=r, r - радиус окружности. Треугольники ADO и OEC ВО- высота равнобедренного треугольника является и его медианой, АО=ОС, Так как DE|| AC, то ВО делит DE пополам и DK=KE=7 Проведем высоту DT. TO=7, AT=r-7 Из прямоугольного треугольника DTO по теореме Пифагора DT²=DO²-TO²=r²-7² Из прямоугольного треугольника ADT по теореме Пифагора DT²=AD²-АT²=30²-(r-7)² Приравняем правые части равенств, получим: r²-7²=30²-(r-7)², Решаем квадратное уравнение: r²-49=900-(r²-14r+49), r²-7r-450=0 D=49+1800=1849=43² r=(7+43)/2=25, r=(7-43)/2<0 r=25 Треугольник DBK подобен треугольнику ABO Пусть BD=x. BD: AB=DK:AO x:(x+30)=7:25 применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов х и 25 равно произведению средних (х+30) и 7 25х=7х+210 18х=210. х=35/3
Так как треугольник равнобедренный, то центр окружности О лежит посредине стороны АС, тогда ВО- высота, медиана и биссектриса треугольника АВС. Точка К - точка пересечения DE и ВО. АDВО - прямоугольная трапеция, у которой нижнее основание АО=r (r-радиус окружности), верхнее основание DК=14/2=7, меньшая диагональ ОD=r, боковая сторона АD=30 и высота КО=h. В этой трапеции опустим высоту DН=KO, тогда АH=АO-НО=АO-DК или AH=r-7 DH²=OD²-DК² или h²=r²-7²=r²-49 AH²=AD²-DH² или АН²=30²-h²=900-h²=900-r²+49=949-r² Приравниваем АН и получаем 949-r²=(r-7)² 2r²-14r-900=0 r²-7r-450=0 D=49+1800=1849=43² r=(7+43)/2=25 см Так как треугольники АВО и DBK подобны по 2 углам (углы АОВ=DKB=90, угол АВО -общий), то коэффициент подобия к=DK/AO=7/25 Тогда DВ/AВ=7/25, а DВ=АВ-АD=АВ-30 25(АВ-30)=7АВ 18АВ=750 АВ=750/18=125/3
Можно сообразить. Есть теорема, утверждающая, что если соединить все соседние середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм. Получим: средние линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда там ромб. Это бывает тогда и только тогда, когда равны соседние стороны. А это равносильно равенству диагоналей (т. к. они вдвое больше по свойству средней линии треугольника) . Вот такое доказательство, по крайней мере, для выпуклого четырехугольника. Для невыпуклого, если надо, можно привести аналогичные рассуждения.
Да, верно. Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b. Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость.
Треугольник АВС- равнобедренный. Углы при основании равны, поэтому угол А равен углу С. Угол А вписанный и опирается на дугу DEC,
Угол С вписанный и опирается на дугу ADE.
Дуга DE- общая, значит дуга AD равна дуге ЕС.
Поэтому DE || AC.
Проведем радиусы ОD и ОЕ.
АО=ОС=OD=ОЕ=к=r, r - радиус окружности.
Треугольники ADO и OEC
ВО- высота равнобедренного треугольника является и его медианой, АО=ОС,
Так как DE|| AC, то ВО делит DE пополам и DK=KE=7
Проведем высоту DT. TO=7, AT=r-7
Из прямоугольного треугольника DTO по теореме Пифагора DT²=DO²-TO²=r²-7²
Из прямоугольного треугольника ADT по теореме Пифагора DT²=AD²-АT²=30²-(r-7)²
Приравняем правые части равенств, получим: r²-7²=30²-(r-7)²,
Решаем квадратное уравнение:
r²-49=900-(r²-14r+49),
r²-7r-450=0
D=49+1800=1849=43²
r=(7+43)/2=25, r=(7-43)/2<0
r=25
Треугольник DBK подобен треугольнику ABO
Пусть BD=x.
BD: AB=DK:AO
x:(x+30)=7:25
применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов х и 25 равно произведению средних (х+30) и 7
25х=7х+210
18х=210.
х=35/3
АВ=30+35/3=(90+35)/3=125/3