Question

Bd- высота остроугольного треугольника abc. ad=4, угол a=30, угол dbc=45. найдите все стороны abc и его площадь

Answer 1

ΔABD:
AB = $\frac{AD}{cos 30}$ = $\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ =  $\frac{8}{\sqrt{3}}$ =  $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$
BD = AD·tg 30° = 4· $\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
ΔBDC:
BC = $\frac{BD}{cos 45}$ =  $\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ =  $\frac{8\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$ =  $\frac{4\sqrt{6}}{3}$
CD = BD·tg 45° = $\frac{4\sqrt{3}}{3}}$·1 = $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
AC = AD + CD = 4 + $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ = 4·(1 + $\frac{\sqrt{3}}{3}$) =  $\frac{4(3+\sqrt{3})}{3}$
S ΔABC = $\frac{1}{2}$·AC·BD = $\frac{1}{2}$·$\frac{4(3+\sqrt{3})}{3}$·$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ = $\frac{8(3+\sqrt{3})\sqrt{3}}{9}$ = $\frac{8(\sqrt{3}+1)}{3}$