Question

65 ! к двум окружностям с центрами в точках о1 и о2, касающимся внешним образом в точке а, проведена общая касательная вс (в и с – точки касания). докажите, что угол вас – прямой.

Answer 1

AD -- перпендикуляр к BC.
O₁F -- перпендикуляр к O₂C.
O₁O₂ = r + R, O₂F = R - r
O₁F = $\sqrt{(r+R)^{2}-(R-r)^{2}}=2 \sqrt{rR}$
ВС = O₁F =2$\sqrt{rR}$
BD = BC·$\frac{r}{r+R} = \frac{2r \sqrt{rR} }{r+R}$
DC = BC·$\frac{R}{r+R} = \frac{2R \sqrt{rR} }{r+R}$
ΔO₁AE подобен ΔO₁O₂F, поэтому $\frac{AE}{O_{2}F}= \frac{O_{1}A}{O_{1}O_{2}}$
$AE= \frac{O_{1}A*O_{2}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{r*(R-r)}{r+R}}$
AD = AE + ED = $\frac{r*(R-r)}{r+R}} + r =\frac{2rR}{r+R}}$
Если <BAC -- прямой, тогда длина высоты AD должна быть равна среднему геометрическому длин отрезков BD и DC, на которые она разбивает гипотенузу BC.
Убедимся, что: AD = $\sqrt{BD*DC}$
$\frac{2rR}{r+R}}=\sqrt{ \frac{2r \sqrt{rR} }{r+R}*\frac{2R \sqrt{rR} }{r+R}}$
$\frac{2rR}{r+R}}=\frac{2rR}{r+R}}$
<BAC -- действительно прямой.
См. рис. в прилагаемом файле.