Question

Впрямоугольнике диагональ=25; высота , проведенная на диагональ = 12; найти периметр прямоугольника

Answer 1

Дано: ABCD - прямоугольник; AC=25, BK = 12.
Найти: Pabcd.
       Решение:
Из вершины В проведём высоту ВК на диагональ АС. Имеем что АВС - прямоугольный треугольник.
Площадь прямоугольного треугольника равна:
$S_{abc}= \frac{AC\cdot CK}{2} = \frac{25\cdot12}{2} =150$
А периметр прямоугольного треугольника, равна:
$P=a+b+c \\ P= \sqrt{(a+b)^2} +c \\ P= \sqrt{a^2+b^2+2ab} +c \\ P= \sqrt{c^2+4S} +c \\ P= \sqrt{25^2+4\cdot150} +25=60$
Радиус вписанной окружности:
$r= \frac{2S}{P} = \frac{2\cdot150}{60} =5$
Ширина АВ прямоугольника, равна:
$AB= \dfrac{AC^2+2\cdot r- \sqrt{AC^2-4\cdot AC\cdot r-4\cdot r^2} }{2} \\ \\ AB= \dfrac{25+2\cdot5- \sqrt{25^2-4\cdot25\cdot5-4\cdot5^2} }{2} =15$
А длина ВС прямоугольника, равна:
$BC= \dfrac{AC^2+2\cdot r+ \sqrt{AC^2-4\cdot AC\cdot r-4\cdot r^2} }{2} \\ \\ BC= \dfrac{25+2\cdot5+ \sqrt{25^2-4\cdot25\cdot5-4\cdot5^2} }{2} =20$
Итак, стороны прямоугольника будут 15 и 20.
Периметр прямоугольника:
$P=2(a+b)=2(15+20)=70$ 

ответ: 70