Из заданного соотношения длин сторон треугольника АВС имеем:
АВ = 1, АС = (3/2)АВ, ВС = (4/3)АВ.
Приводим к общему знаменателю и представляем длины сторон подобного треугольника в целом виде: А1В1 = 6, А1С1 = 9, В1С1 = 8.
Находим углы этого (они же и у заданного) треугольника по теореме косинусов : cosα = (b²+c²−a²)/2bc.
Подставив данные длин сторон треугольника А1В1С1, находим:
cos A = 0,490741,
cos B = 0,1979167,
cos C = 0,756944.
Соответственно углы равны:
A = 1,057857 радиан или 60,61072 градусов,
B = 1,371564 78,584842,
C = 0,712172 40,804438.
Отсюда находим угол Q1D1B1 по сумме углов смежного треугольника: ∠Q1D1B1 = (1/2)∠А + ∠С = 71,109798 градуса.
Теперь переходим к длинам треугольника Q1D1B1.
Длина B1D1 по свойству биссектрисы р = ((ас)/(b + c)) равна:
B1D1 = p = (8*6)/(9 + 6) = 48/15 = 16/5 = 3,2.
Отрезок С1D1 = q = 8 - 3,2 = 4,8.
Находим длину биссектрисы А1D1:
A1D1 = √(bc - pq) = √(9*6 - 3,2*4,8) = √38,64 ≈ 6,216108.
Биссектриса А1D1 делится точкой пересечения с биссектрисой В1Е1 в отношении (b + c)/a. Отсюда находим длину Q1D1.
Q1D1 = A1D1*(a/(a + b +c)) = 6,216108*(8/23) = 2,162125.
Теперь можно определить площадь подобного треугольника Q1D1B1 по двум сторонам и углу между ними.
S(Q1B1D1) = (1/2)*2,162125*3,2*sin71,109798° = 3,273079.
Находим коэффициент"к" пропорциональности треугольников QBD и Q1B1D1:
к =√(S(QBD)/S(Q1B1D1)) = √(1/3,273079) = 0,552741.
По этому же коэффициенту находим длины сторон треугольника АВС.
Площадь АВС = 7,1875 А1В1 = В1С1 = А1С1 = Р = 12,713046
AB =3,316447
BC =4,421929
AC =4,974670/
Площадь АВС находим по формуле Герона.
Р = 12,713046, р = 6,356523.
S(АВС) = 7,1875 кв.ед.
Проверяем соотношение длин сторон:
1 1,3333 1,5
1 4/3 3/2. Соответствует заданному.
ответ: площадь АВС = 7,1875 кв.ед.
Периметр - сумма всех сторон. учитывая, что трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны. тогда: 60-14-26 = 20
20/2 = 10 (- это каждая боковая сторона)
площадь будем искать по формуле полусуммы оснований, умноженных на высоту. проведем высоту. сразу лучше две высоты, см. рисунок.
две высоты делят основание равнобедренной трапеции на прямоугольник, отсекая от бОльшего основания равные части.
26-14 =12.
12/2 = 6
дальше по т. Пифагора: см. рисунок
высота = 8, дальше подставим в формулу: (14+26)/2 * 8 = 160.
а) Находим уравнение прямой ВС:
у = кх+b Подставим сюда координаты точек В и С, составим систему и найдем k и b:
5k + b = -7 b=-7-5k = 8
2k+ b = 2 3k = -9 k = -3
Получили уравнение: у = -3x + 8
Опускаем перпендикуляр из А на ВС, получим точку К -проекция А на ВС.
Прямая АК имеет угловой коэффициент: -1/k = 1/3
Значит ее уравнение имеет вид:
у = x/3 +b. Подставим координаты точки А:
-1 + b = -5 b = -4 Уравнение АК: у = х/3 - 4
Ищем координаты точки пересечения АК и ВС: (это и есть искомая проекция)
-3х+8 = х/3 - 4 10х/3 = 12 х = 3,6 у = -10,8 + 8 = -2,8.
ответ: (3,6; -2,8).
б) Вектор АВ: (2+3; 2+5):(5;7) Пусть М(х;у).
Тогда вектор СМ:((х-5); (у+7))
Скалярное произведение (СМ*АВ) = 5(х-5) + 7(у+7) = 122
С другой стороны точка М принадлежит АВ. Найдем уравнение АВ:
у = kx+b
-3k+b=-5 b = -5+3k = -4/5
2k+b=2 5k=7 k = 7/5
Уранение АВ: у = 7х/5 - 4/5 - вот и еще уравнение для нахождения координат точки М. Получили систему:
5(х-5) + 7(у+7) = 122 5х + 7у = 98 |*5 25х + 35у = 490
у = 7х/5 - 4/5 5у - 7х = -4 |*(-7) 49х - 35у = 28
74х = 518 x = 7 7у = 98 - 35 = 63 у = 9
ответ: М(7; 9).