Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема.
1. Стороны правильного многоугольника=8 см. Длина круга вписанного в него=6П см.
Найти длину круга описанного вокруг многоугольника.
Радиус вписанного круга находим из его длины
6п=2пr
r=3 Это апофема этого многоугольника , из чего следует, что радиус его равен 5, т.к. прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4 - египетский и гипотенуза его равна 5. (Хотя можно и теоремой Пифагора воспользоваться).
Радиус описанного круга равен 5, длина его окружности
2пr=2п5=10п
2.Сторона правильного шестиугольника = а. Найти длина его меньшей диагонали.
Длина меньшей диагонали этого шестиугольника - основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов, или, что одно и то же, диагональ ромба со стороной а. По формуле высоты равностороннего треугольника
d=2а(√3):2=а √3
3.Если правильный 12-ти угольник вписан в круг радиуса R, то его сторона =
R/2:sin 75
Решение:
В правильном 12-ти угольнике каждый центральный угол равен 30°.
углы при стороне равны (180-30):2 =75°
Высота треугольника, образованного радиусами 12 угольника и его стороной, проведенная из угла основания к радиусу, как противолежащая углу 30°, равна половине радиуса R и равна R/2
Из отношения высоты к стороне ( гипотенузе) сторона 12-ти угольника равна R/2:sin 75
O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
MO - средняя линия в SCA, MO=SA/2 =a/2
MO||SA => MO⊥BM, S(BMO)=BM*MO/2 =ab/4
MO - медиана, S(BMD)=2S(BMO) =ab/2
H - точка пересечения медиан в DSC, CH=2/3 CN =2/3 c
CN⊥SA => CN⊥MO, CN⊥BM => CN⊥(BMD)
CH - высота в пирамиде CBMD, V(CBMD)=S(BMD)*CH/3 =abc/9
Перпендикуляр из S к плоскости (ABC) вдовое больше перпендикуляра из M, площадь ABCD вдвое больше площади BCD, следовательно S(SABCD)=4S(CBMD) =4/9 abc