45°
Объяснение:
152. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед;
AB = 5; AD = 4; AA₁ = 3
Найти: ∠ABD₁.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.1. Рассмотрим ΔAA₁D₁ - прямоугольный.
Противоположные сторона прямоугольника равны.⇒ AD = A₁D₁
По теореме Пифагора:
2. Рассмотрим ΔABD₁.
AB ⊥ AD
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.⇒ ΔABD₁ = прямоугольный.
AB = BD₁= 5
⇒ ΔABD₁ - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠BD₁A = ∠ABD₁
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠BD₁A = ∠ABD₁ = 90°:2 = 45°
153. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед;
АВ = 4; AD = 3; AA₁ = 5.
Найти: ∠DBD₁
Рассмотрим ΔADB - прямоугольный.
По теореме Пифагора:
Рассмотрим ΔDD₁B - прямоугольный.
AA₁ = DD₁ = 5 (противоположные стороны прямоугольника AA₁D₁D)
BD = DD₁=5
⇒ ΔDD₁B - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠DBD₁ = ∠DD₁B
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.⇒ ∠DBD₁ = ∠DD₁B = 90° :2 = 45°
Найдём угол BAC:
BAC = 180° - (30° + 105°) = 180° - 135° = 45°
По теореме синусов найдём сторону AC:
(BC)/(sinBAC) = (AC)/(sinABC);
(3√2)/(√2/2) = (AC)/(1/2);
AC = (3√2 * 1/2)/(√2/2) = 3√2 * 1/2 * 2/√2 = (3√2)/(√2) = 3 см
По той же теореме синусов найдём сторону AB:
(AC)/(sinABC) = (AB)/(sinBCA);
sin105° = sin(50+50+5) = 0.766 + 0.766 + 0.0871 = 1.6191
(3)/(1/2) = (AB)/(1.6191);
AB = (3 * 1.6191)/(1/2) = 3 * 1.6191 * 2 = 9.7146 ≈ 10 см
ответ: угол BAC = 45°; AC = 3 см; AB = 10 см