Дан куб авсdа₁в₁с₁d₁ а) постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер ав, в₁с₁, аd. б) найдите угол между плоскостью а₁вd и плоскостью, проходящей через середины рёбер ав, в₁с₁, аd.
Построение сечения. 1. Проводим пряную ЕF до пересечения с продолжениями отрезков СВ (F1) и СD (Е1). ЕF -линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания. 2. Проводим прямую НF1, пересечение этой прямой с ребром ВВ1 - точка G. GH - линия пересечения секущей плоскости и грани ВВ1С1С. 3. Соединим точки F и G. FG - линия пересечения секущей плоскости и грани АА1В1В. 4. Плоскости АВСD и А1В1С1D1 параллельны, значат линия НК пересечения секущей плоскости и грани А1В1С1D1 будет проходить через точку Н параллельно прямой ЕF. 5. Проводим прямую КЕ1, пересечение этой прямой с ребром DD1 -точка Р. КР -линия пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. 6. Соединим точки Р и Е. РЕ -линия пересечения секущей плоскости и грани АА1D1D. Нахождение угла. Угол между плоскостью сечения EFGHKP и плоскостью А1ВD -угол A1RQ = α, образованный пересечением указанных плоскостей плоскостью, перпендикулярной к обеим плоскостям, то есть перпендикулярной к линии пересечения МN данных двух плоскостей. Заметим, что этот угол равен углу А1ОС1, так как QL параллельна С10 (так как LО=С1Q, потому что EF - средняя линия прямоугольного треугольника АЕF и АL=LO=C1Q). Половина диагонали основания (квадрата со стороной а) СО равна а*√2/2. А тангенс угла С10С равен СС1/СО = а*2/а*√2 = √2. По таблице тангенсов угол С10С ≈ 55°. Значит и симметричный с ним угол А1ОА =55°, их сумма равна 110°, а дополняющий эти два угла до развернутого искомый угол равен 180°-110°=70°. ответ: угол между плоскостями FGНКРЕ и A1BD ≈ 70°. ответ в приложенном рисунке.
Построим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Проведем медиану ВД. Так как средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине боковое ребро (АВ) будет равно 13*2=26 см Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является также и высотой. Зная это по теореме Пифагора найдем половину основания: АД^2=АВ^2-ВД^2=26^2-24^2=676-576=100 АД=10 см А так как средняя линия равна половине параллельной стороны, то искомая средняя линия будет равна 10 см
Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми (ребро ВВ1 и диагональ АС1 - скрещивающиеся прямые, так как "если две прямые не лежат в одной плоскости не параллельны одна другой и не пересекаются, они называются скрещивающимися") это "расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую". То есть это перпендикуляр, опущенный из точки, принадлежащей прямой ВВ1, на плоскость, содержащую прямую АС1, - на плоскость АА1С1С. Это перпендикуляры МК или ВН. В прямоугольном треугольнике АСС1 по Пифагору найдем катет АС. АС=√(АС1²-СС1²) = √(24²-(12√2)²) =√(576-288) = 12√2. Пусть катет АВ = 6√6 (дано). В прямоугольном треугольнике АВС по Пифагору найдем второй катет. Он равен √(АС²-АВ²) = √((12√2)²-(6√6)²) =√(288-216) = √72=6√2. Тогда по свойству высоты из прямого угла находим высоту ВН. ВН=АВ*ВС/АС = (6√6)*(6√2)/12√2 = 3√6. ответ: расстояние между диагональю АС1 и противоположным боковым ребром ВВ1 призмы равно 3√6.
1. Проводим пряную ЕF до пересечения с продолжениями отрезков
СВ (F1) и СD (Е1). ЕF -линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания.
2. Проводим прямую НF1, пересечение этой прямой с ребром ВВ1 -
точка G. GH - линия пересечения секущей плоскости и грани ВВ1С1С.
3. Соединим точки F и G. FG - линия пересечения секущей плоскости и грани АА1В1В.
4. Плоскости АВСD и А1В1С1D1 параллельны, значат линия НК пересечения секущей плоскости и грани А1В1С1D1 будет проходить через точку Н параллельно прямой ЕF.
5. Проводим прямую КЕ1, пересечение этой прямой с ребром DD1 -точка Р. КР -линия пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C.
6. Соединим точки Р и Е. РЕ -линия пересечения секущей плоскости и грани АА1D1D.
Нахождение угла.
Угол между плоскостью сечения EFGHKP и плоскостью А1ВD -угол
A1RQ = α, образованный пересечением указанных плоскостей плоскостью, перпендикулярной к обеим плоскостям, то есть перпендикулярной к линии пересечения МN данных двух плоскостей.
Заметим, что этот угол равен углу А1ОС1, так как QL параллельна С10
(так как LО=С1Q, потому что EF - средняя линия прямоугольного треугольника АЕF и АL=LO=C1Q). Половина диагонали основания
(квадрата со стороной а) СО равна а*√2/2.
А тангенс угла С10С равен СС1/СО = а*2/а*√2 = √2.
По таблице тангенсов угол С10С ≈ 55°. Значит и симметричный с ним угол А1ОА =55°, их сумма равна 110°, а дополняющий эти два угла до развернутого искомый угол равен 180°-110°=70°.
ответ: угол между плоскостями FGНКРЕ и A1BD ≈ 70°.
ответ в приложенном рисунке.