Дан ΔABC площадью 18 см² ; М-точка пересечения его медиан. Прямая, проходящая через точку A и параллельная прямой BC, пересекает прямую BM в точке K, а прямую CM в точке N. Прямые BK и AC пересекаются в точке L. Найдите площадь Δ MLN
Решение.
S(МСВ)=1/3*18=6 (см²) по свойству медиан о разбиении треугольника на 6 равновеликих.
1)ΔАКL=ΔBCL по стороне и 2-м прилежащим углам :AL=LC (ВL-медиана) , ∠1=∠2 как накрест лежащие при АК||ВС , АС-секущая ,∠АLK=∠CLB как вертикальные .
{Значит S(АКL)=S(BCL)=1/2*18=9 (cм²);
{Значит LK=BL
2)Пусть ML=x , тогда по т. о точке пересечения медиан ВМ=2х, BL=3x, LK=3x.
3) ΔMNK ~ ΔMCB по 2-м углам :∠3=∠4 как накрест лежащие , ∠NMK=∠CMB как вертикальные ⇒ отношение площадей равно к².
k= 
⇒ S(MNK) : 6= 2² , S(MNK)=24
4) 
= 
, S(MNL)= 6 cм²
Объяснение:
∠DEK опирается на диаметр DK большой окружности.
∠ОВК опирается на диаметр ОК малой окружности.
Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. Следовательно,
∠DEK = ∠ОВК = 90°. Из этого следует, что
DE ⊥EK и АВ ⊥ЕК.
Теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Значит, DE ║ АВ, ч.т.д.
б) Так как DE ║ АВ, то ∠ВОК = ∠ЕDК как соответственные.
Диаметр АВ ⊥ЕК. Если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через её середину, т.е.
ЕС = СК и т. В - середина дуги ЕК и, следовательно,
DB - биссектриса ∠EDK прямоугольного ΔDEK.
Теорема: Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон, т.е.
ЕL : LK = DE : DK = cos(∠KDE) = cos(∠KOB) = √(1 - sin²(∠KOB) =
= √1 -7/16 = √9/16 = 3/4
