Втреугольнике abc на стороне ac выбрали точку k. точки p и q симметричны точке k относительно сторон ab и bc. оказалось, что прямая bk делит отрезок pq пополам. докажите, что угол kbc равен одному из углов треугольника kpq
Симметрия точек относительно прямой - это симметрия концов отрезка относительно серединного перпендикуляра. AB и BC - серединные перпендикуляры в треугольнике PKQ. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, прямая, проходящая через точку пересечения серединных перпендикуляров (B) и середину отрезка PQ, является перпендикуляром к PQ.
Пусть M - середина PQ, N - середина KQ. Треугольники KBN и KQM подобны (прямоугольные с общим углом), ∠KBC=∠KQP.
Для решения данной задачи вспомним свойство равнобедренного треугольника: биссектриса проведенная из вершины угла равнобедренного треугольника к основанию является его высотой и медианой. Таким образом задача сводится к решению двух подзадач. 1. построение биссектрисы угла; 2. построение перпендикуляра к прямой через заданную точку. Решения: 1. раскроем циркуль на удобное расстояние и, поставив ножку на т. А сделаем засечки на лучах угла; не изменяя раствора циркуля, поставив его ножку на сделанные засечки, сделаем еще две до пересечения; полученная т. А1 принадлежит биссектрисе, проводим её. 2. раскроем циркуль на расстояние большее чем расстояние от т. М до биссектрисы и, поставив ножку на т. М сделаем засечки на АА1; не меняя раствор циркуля ставим ножку на засечки и делаем новые засечки с другой стороны АА1; получаем точку М1; прямая ММ1 перпендикулярна АА1 и точки В и С - пересечения с углом А образуют равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС которому принадлежит т. М.
Поставим ножку циркуля в точку А. Радиусом, равным расстоянию АМ, проведём полуокружность. Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим 1 и 2. Соединив их, получим равнобедренный треугольник. Теперь нужно провести параллельно отрезку, соединяющему точки 1 и 2, прямую, проходящую через точку М. Для этого ставим ножку циркуля в точку 1, открываем раствор до точки М. Радиусом 1М проводим из точки 2 полуокружность до пересечения с первой окружностью ( с центром из точки А). Точку пересечения обозначим 3. Через точку М и точку 3 проведем прямую. Она параллельна отрезку, проходящему через точки 1 и 2. Точки пересечения прямой 3М со сторонами угла обозначим В и С. Получен равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС, проходящим через заданную точку М.
Симметрия точек относительно прямой - это симметрия концов отрезка относительно серединного перпендикуляра. AB и BC - серединные перпендикуляры в треугольнике PKQ. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, прямая, проходящая через точку пересечения серединных перпендикуляров (B) и середину отрезка PQ, является перпендикуляром к PQ.
Пусть M - середина PQ, N - середина KQ. Треугольники KBN и KQM подобны (прямоугольные с общим углом), ∠KBC=∠KQP.