Question

Найти уравнение эллипса если фокусы расположены на оси ох симметрично отн. нач. координат, расстояние между фокусами 8, а точка м( ; -1) лежит на эллипсе

Answer 1

Уравнение эллипса: $\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{ b^{2} } =1$ 
Фокусы лежат на оси Ох симметрично начала координат => центр лежит в начале координат => $x_{0}=0; y_{0}=0 =$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{ b^{2} } =1$
M($\sqrt{5} ;-1$) => $\frac{ \sqrt{5} ^{2}}{a^{2}} + \frac{(-1)^{2}}{ b^{2} } =1 =$$\frac{5}{a^{2}} + \frac{1}{ b^{2} } =1 = \frac{1}{ b^{2} } = \frac{a^{2}-5}{a^{2}} =$$b^{2}= \frac{a^{2}}{a^{2}-5}= b= \frac{a}{ \sqrt{a^{2}-5} }$
Расстояние между фокусами= 8 => 2c=8 => c=4
$c^{2} = a^{2} -b^{2} = a^{2} -b^{2}=16$ =>
$\left \{ {{a^{2}= \frac{5b^{2}}{b^{2}-1}} \atop {a^{2} -b^{2}=16}} \right. = \frac{5b^{2}}{b^{2}-1}=b^{2} +16 =$$5b^{2} =(b^{2} +16)*(b^{2}-1)= 5b^{2} =b^{4}-b^{2}+16b^{2}-16 =$$5b^{2} =b^{4}-b^{2}+16b^{2}-16 = b^{4}+10b^{2}-16=0 = b^{2}=2 \sqrt{41} -5=$$a^{2} =c ^{2} +b ^{2} =16+2 \sqrt{41} -5=2 \sqrt{41}+11 =$
Уравнение эллипса: $\frac{ x^{2} }{2 \sqrt{41}+11} + \frac{ y^{2} }{2 \sqrt{41}-5} =1$