Впрямоугольный треугольник вписана окружность. найдите гипотенузу треугольника, если радиус окружности равен 6 см, а периметр треугольника равен 106 см.
Так как площадь = 18 (половина произведения катетов) , то используя теорему Пифагора, составляем систему уравнений, где a и b - катеты данного прямоугольного треугольника:
KL- средняя линия, MN- отрезок, соединяющий середины оснований, продолжим боковые стороны, они пересекутся под углом 90 градусов так как 44+46=90 и 180-90=90 по теореме о сумме углов треугольника в треугольнике PAD. пусть BC=a и AD=b. заметим, что прямая MN проходит через точку P( если провести прямую PN, то она пересечет BC посередине, потому что N- середина AD и BC параллельно AD, понятно?) медиана в прямоугольном треугольнике равна половине основания- PM=a/2. PN=b/2. PN=PM+MN=a/2 + 6. средняя линия равна полусумме оснований- KL = (AD + BC)/2. 14=(a+b)/2. решаем систему: 1) (a+b)/2=14. 2) b/2=a/2 + 6. решением является пара чисел a=8 и b=20
Система:
1/2 ab = 18
a2+b2= 12^2
Система:
ab=36
a2+b2=144
Система:
a=36/b
(36/b)^2 + b2 =144
Решаем последнее уравнение:
1296+b^4 - 144 b^2 =0
b^4 -144b^2 +1296 =0
Пусть b^2 = y
y2-144y +1296 = 0
D= 20736-5184=15552
у(1;2)=(144+-124V176) / 2 = (144+- 72V3) / 2 = 72+-36V3 = 36(2+-V3)
b^2 = 36(2+-V3)
b>0 следовательно b= 6V(2+-V3)
a=36 / 6V(2+-V3) = 6 / V(2+-V3)