Question

Решите : четырехугольник abcd со сторонами ав=40, cd=10,вписан в окружность. диагонали ac и bd пересекаются в точке к, при этом образуют угол акв=60 градусов. найдите радиус окружности описанного около этого четырехугольника.знаю что тут надо решать через теорему косинусов.

Answer 1

∠AKB = ∠DKC (вертикальные);∠BAC = ∠BDC (опираются на одну дугу) ⇒ ΔAKB и ΔDKC подобны. АВ = 4·CD ⇒ коэффициент подобия 4 ⇒ КВ = 4·КС
Обозначим ∠KBC = α; ∠KCB = β
α+β=60°, β=60⁰-α
Сразу заметим, что α и β в первой четверти, и синусы и косинусы будут положительными
Применим к ΔCKB теорему синусов:
$\frac{BK}{sin \beta } = \frac{KC}{sin \alpha } ; \frac{4KC}{sin \beta } = \frac{KC}{sin \alpha } ; \frac{4}{sin \beta } = \frac{1}{sin \alpha } \\sin \beta =4sin \alpha \\sin(60- \alpha )=4sin \alpha \\sin60cos \alpha -cos60sin \alpha =4sin \alpha \\ \frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha - \frac{1}{2} sin \alpha =4sin \alpha \\\sqrt{3} cos\alpha=9sin \alpha \\3cos^2 \alpha =81sin2^ \alpha \\1-sin^2 \alpha =27sin^2 \alpha \\sin^2 \alpha = \frac{1}{ \sqrt{28} } \\sin \alpha = \frac{1}{ 2\sqrt{7} }$
ΔDBC вписан в туже окружность, ее радиус найдем применив теорему синусов в этом треугольнике:
$2R= \frac{CD}{sin \alpha } =10: \frac{1}{2 \sqrt{7} } =20 \sqrt{7}\\ R=10 \sqrt{7}$
PS
Еще один вариант, но не знаю как его воспримет Ваш учитель.
Все четырехугольники (в том числе и трапеция) построенные по данным условиям будут вписаны в одну и ту же окружность.
Если построить трапецию, у которой основания 10 и 40, а диагонали пересекаются под углом 60 градусов, задача решается в 2 строчки, и результат тот же.
PPS
Возможно, есть и более простое решение. Если узнаете, сообщите