Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а диагональ основания 6 см. найдите площадь полной поверхности призмы.(если можно, то с рисунком )
Треугольники EAB и FAD подобны, поэтому EB/FD=AB/AD. Аналогично, треугольники BAK и DAL подобны, поэтому BK/DL=AB/AD. Значит EB/FD=BK/DL С другой стороны треугольники EBC и LDC подобны, поэтому EB/DL=BC/CD. Аналогично, треугольники BKC и DFC подобны, поэтому BK/FD=BC/CD. Значит EB/DL=BK/FD. Перемножим полученные равенства EB/FD=BK/DL и EB/DL=BK/FD. Находим, что EB²/(FD·DL)=BK²/(DL·FD). После сокращения, EB²=BK², т.е. EB=BK. Отсюда и из равенства EB/FD=BK/DL следует, что и FD=DL. Все подобия здесь по двум углам в силу парллельности прямых EK и FL.
Пусть будет трапеция АВСD, BC и AD - основания. Площадь трапеции - это полусумма оснований помноженная на высоту. Высоту не обязательно опускать из вершины. Проведём высоту так, чтобы центр вписанной окружности лежал на ней. Пусть это будет высота НК, О - центр вписанной окружности. Это возможно, если точки Н и К - точки касания окружности с основаниями трапеции (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Средняя линия трапеции - это полусумма оснований, значит, площадь трапеции можно найти как средняя линия помноженная на высоту. У нас есть длина средней линии - 5, и если площадь - 40, значит, высота НК=40\5=8. НК=ОН+ОК=2ОК => ОК=8\2=4 - радиус вписанной окружности.
В основании пирамиды квадрат
Пусть сторона квадрата равна а.
Из прямоугольного треугольника АВС:
а=АС·sin45°=6·(√2)/2=3√2 см
Диагональ квадрата точкой О делится пополам.
АО=ОС=3
Значит,
Боковое ребро равно 5
Δ SOC - прямоугольный с катетами 4 и 3 ( египетский треугольник)
Апофема боковой грани SK=h
SK²=SC²-KC²=5²-(3√2/2)²=25-(9/2)=41/2
h=SK=√(41/2) cм
S(полн.)=S(бок.)+S(осн.)=(1/2)Р(осн.)·h+a²=
=(1/2)·4a·h+a²=2a·h+a²=
=2·(3√2) ·√(41/2) + (3√2)²=(6√41+18) cм²