Question

Три хорды дан треугольник abc. на прямой ac взяты точки x и y, отличные от точек a и c, так, что xa=ac=cy. на прямой bc взяты точки k и l, отличные от точек b и c, так, что kb=bc=cl. на прямой ab взяты точки m и n, отличные от точек a и b, так, что ma=ab=bn. оказалось, что вокруг шестиугольника xknylm можно описать окружность. известно что, периметр треугольника abc=. найдите радиус, описанной вокруг шестиугольника xknylm окружности.

Answer 1

Из свойств хорд следует что 
$(YC+AC)*AX=AM*(AB+BN)\\2AC*AC=AB*2AB\\AC=AB$ так и остальные ,  то есть следует что три стороны треугольника равны , остальные три в два раза больше , то есть  
 $AC=AB=BC=4\sqrt{\frac{3}{7}}\\MX=NK=LY=4\sqrt{\frac{3}{7}}\\ML=XK=YN=8\sqrt{\frac{3}{7}}$
 Рассмотрим  четырехугольник $YXKN$ , положим что угол $YXK=a$ Получим по теореме косинусов  
$(8\sqrt{\frac{3}{7}})^2+(12\sqrt{\frac{3}{7}})^2-16\sqrt{\frac{3}{7}}*12\sqrt{\frac{3}{7}}*cosa=$$(4\sqrt{\frac{3}{7}})^2+(8\sqrt{\frac{3}{7}})^2-2*4\sqrt{\frac{3}{7}}*8\sqrt{\frac{3}{7}}*cos(\pi-a)$

откуда $a=\frac{\pi}{3} \\YK=\sqrt{48}\\$
о теореме синусов $\frac{\sqrt{48}}{sin\frac{\pi}{3}}=2R\\R=4$
 
  ответ    $4$